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lioii e^^^^ tend vers zéro, et la foiiction (4), par suite, vers 

 luie limite finie déterminée w„. D'aprés le théoréme fonda- 

 meiital de C a u c h y concernaiit les intégrales définies, 

 f{z) tend uniformément vers 0)^ dans chaque angle intérieur 

 å A„. La fonction f (z) présente donc les valeurs asymptotiques 

 finies o^^, ..., o)p, correspondant respectivemenl aiix angles 

 Ap ..., Ap. 



Il est facile de voir que / (z) nadmet hors des valeurs 

 Wj, ..., a)p aucune valeur asymptotique finie. En effet, s'il 

 existait une telle valeur (o, tout chemin /"^ sur lequel f (z) 

 tend vers o) serait compris a partir d'un certain point 

 dans un domaine déterminé T„, en restant d'autre part en 

 dehors de toute partie intérieure de Tangle A„. On pourrait 

 donc choisir å Tintérieur de Tangle A„ un rayon Fan ^el 

 que les chemins Pco et /"ft,„ seraient compris dans un angle 



TT. 



supérieur å ^— d'aussi peu qu'on voudra. Puisque, sur lesdits 



chemins, la fonction /(r) tend vers des limites différentes, 

 elle ne saurait étre bornée dans Taire comprise entré eux, 

 d'aprés le théoréme IV. Mais alors, en vertu du théoréme 

 III, l/(z)| devrait dépasser la limite e "' ^""^ en des points 

 arbitrairement éloignés, ce qui n'a pas lieu. 



Il résulte de ce qui précéde qu'å toute valeur o>„ corres- 

 pond un domaine infini Jain (^) (c/- i^" 2) qui, pour | z | suffi- 

 samment grand, renferme tout angle donné intérieur å 

 Tangle A„. Puisque la dérivée f'(z) de la fonction (4) n'a 

 qu'un nombre fini de zéros, toutes -les valeurs o»n seront, 

 d'aprés le n" 2, des singularités transcendantes directement 

 critiques pour la fonction inverse z = (p (w) de la fonction (4). 

 On peut choisir r assez petit pour que les équations f{z) = 

 0)^ et f'(z)=0 soient toutes deux dépourvues de racines 

 dans le domaine correspondant Ja)n O')- D'aprés le n^ 2, 

 la portion de q, (w) correspondant å Jm^ (r) n'aura alors 

 aucun autre point critique que le point transcendant (fj„, 

 et le domaine J^in (O ädmet un seul contour allant de 

 rinfini ä Tinfini. Dans la suite nous supposerons le nombre 

 r fixé de telle maniére que les domaines Joii i^)^ ■••■> ^Opi^) 

 jouissent tous des propriétés énoncées ici. 



