A N:o 1) Sur les valeurs asymplotiques des fonctions entieres. 17 



Nous ferons voir encore que, hors des p domaiiies cousi- 

 dérés J(ox{r), ..., Jcop (r) remplissaut rintérieur des aiigles 

 A^, ..., Ap respectivement, il n'y a auciiii domaine JmnO) 

 infini correspondant å Tune de ces mémes valeurs (Oj, ..., 10^, 

 Eli ef fet, de ce qui précéde il suit que, s'il y avait un I el 

 domaine Joon O')' celui-ci devrait faire partie du domaine 

 T,, qui renferme le domaine Join (r). Mais, å Taide du rai- 

 sonnement de la page 9, on prouve que ceci implique une 

 contradiction avec le théoréme III. 



12. Chacun des chemins r^, .,., Fp appartient, a partir 

 d'un certain point, å un domaine infini J (r), å Tintérieur 

 duquel \ f{z)\>r el sur le conlour duquel j/(r)|=/-, r étant 

 un nombre positif donné. Pour une valeur suffisamment 

 grande de r on aura p domaines J^ (?) distincts, corres- 

 pondant respectivement aux chemins /"j,.... Fp. Si de 

 plus r est pris supérieur aux nombres \ lo^ \ +r, ..., \io ' + r, 

 ces domaines J^(i) et les domaines z/wi (r), ..., J^p (r) 

 seront entiérement extérieurs les uns aux autres. Comme 

 /' (z) n'a qu'un nombre fini de zéros, on aura d'autre part, 

 dour /• suffisamment grand, f'(z)^0 dans chaque domaine 

 J^ (r). La portion correspondante (p^^ (w) de la fonction 

 inverse z — cp (w) de la fonction (4) n'aura alors aucune sin- 

 gularité en dehors du point transcendant w = oo . D'aprés 

 le no 2, chacun des domaines J^ {}) en question présente 

 alors un seul contour atlant de Tinfini å Tinfini de coté et 

 d'aulre de r„, entré ce chemin et les domaines infinis ^^n (O 

 contigus. 



Nous pouvons facilement démontrer qu'il n'y a, hors des 

 p domaines considérés ci-dessus, aucun autre domaine j (r). 

 En ef fet, s'il y en avait un, ce domaine serait situé entré 

 Tun des domaines précédents j (?) et un domaine con- 

 tigu //ft,„ (7), et ferait donc partie d'un angle supérieur å 



TT , 



— d aussi peu qu'on voudra. Puisque, en tout domaine 



J^{r), le module de f(z) dépasse chaque limite finie don- 

 née, Tantithése posée nous aménerait ainsi, en vertu du 

 théoréme III, å la conclusion que le module de f (z) dépasse- 

 rait la limite e'^^ ^~' en des points arbitrairement éloignés, 

 ce qui est impossible. 2 



