18 Felix Iversen. (LXI 



Nous avons ainsi trouvé qu'il existe p domaines j (?) 

 renfermaiit respectivemeiit les chemins F^, ..., / p et, d'autre 

 part, p domaines infinis Jö,j(r),..., /imp{r) compris respective- 

 meiit eiitre deux domaines J (?) consécutifs. Chacun 

 de ces domaines est limit é par un seul contour allant de 

 rinfini å rinfini. Dans //ft^^ (r) et dans chacun des domaines 

 ^^(r) Téquation /(-)=((>„ est dépourvue de racines, 

 Enfin la portion de (j) (w) qui correspond au domaine infini 

 z/fdn (r) admet comme seule singularité le point transcen- 

 dant w=a)j^, et celle qui correspond å un domaine ^^{r) 

 le point transcendant w = oo . 



13. Nous ferons-voir que les valciirs asymptotiqiies v)^, ..., 

 lOp sont des valeurs exceptionnelles poiir la fondion / (r), dans 

 ce sens que /(-) prend å Viniérieiir du domaine T„(c/. page 15) 

 iouie ualeur finie donnée, e x e e p t é la seule v al e ur 

 o>„, en une injinité de poinis. 



De ce qui précéde on conclut d'abord que, si Téquation 

 f(z)—iOj^ admettait un nombre illimité de racines dans T^, 

 une infinité d'entre elles devraient étre comprises entré les 

 branches contigués y et y des contours de /^ojn (O ^^ d"un 

 domaine J^ (}) avoisinant. Prenons un point quelconque 

 w' de la circonférence | w—io^ | =r, et désignons par 2/, 

 22', ..., Zj,', ... les racines successives de Téquation f(z)—w' 

 situées sur y au dela d'un certain point. Nous prolongeons 

 Télément de la fonction inverse z—(p (w) correspondant å 

 un point 2/ depuis w = w' vers Tinfini dans la direction 

 arg (w — ojn) = arg (w' — (f>„). Par un raisonnement analogue å 

 celui de la page 9 on conclut que, pour une valeur suffi- 

 samment grande de v, le chemin qj, décrit par z=(p(w) 

 s'étend å Tinfini a rintérieur du domaine J (?) limité 

 par y, et qu'il en est de méme des autres chemins Qr^t, 

 ()r+2' ••• ciu'on obtient en prolongeant les elements de (p (w) 

 correspondant aux points 2'^,^^, z'y_^2^... suivant ledil 

 chemin, 



Les courbes y, y, q^ et Qj,^^ limitent un domaine fini 

 dy å rintérieur et sur le contour duquel f (z) est holomorphe., 

 Nous allons voir que, si le domaine d\, renferme des racines 

 de Téquation /(2)=w„, il renferme aussi au moins une 



