AN:ol) Sur les valeurs asymptotiques des fonclions enlicres. 



19 



raciiie de Téquation /'(r)=0. En effel, désignons par m 

 (>0) le nombre des racines de Téquation /(r)=o)n iiilérieures 

 å d^, et faisons décrire au poiiit z le conlour de d\ une fois 

 en sens direct. L'accroissement que subit rargument de 

 (/(r) — (i)n) pendant ee tour étant egal å 2/7777, le point 

 correspondant w^f{z) cqnlournera le point 1/;= w„ m fois 

 dans le sens direct. Mais aux segments AB et CD du 

 contour de d^ correspond le segment rectiligne ab, parcouru 

 deux fois en sens contraires, et au segment BC correspond 

 la circonférence | w — w„ | =r, parcourue une fois dans le sens, 

 indirect, puisque Tintérieur de //oin(/") est représenté sur 

 Fintérieur du cercle \w — to^ | < /" et qu'il n'y a sur la courbe 



Plan des w. Plan des z. 



y, entré r^,' et r'^_^i, aucune racine de Téquation f(z)=^w'. 

 De cela il suit que le point w = f{z) doit décrire la circon- 

 férence |z7;j=r, qui correspond au segment DA, m+1 fois 

 dans le sens direct. La fonction w — f{z) donne par suite la 

 representation conforme du djomaine d\, sur une surface de 

 Riemann å /Ti-fl feuillets étendue sur le cercle \w\<T, dont 

 tous les feuillets couvrent entiérement ce cercle, sauf Tun 

 deux, lequel est découpé suivant la circonférence \w — mA =r 

 et le segment ab. Mais une telle surface ne saurait étre 

 connexe å moins qu'elle n'admette å son intérieur un point 

 de ramification, et å ce point correspond un zéro de /' (r) 

 intérieur å d\,. 



Nous avons donc trouvé que Texistence d'une racine de 

 Téquation /(r)=w„ dans d\, entraine nécessairement celle 

 d'un zéro de /' (r) dans ce méme domaine. Puisque /' (z) 



