20 Felix Iversen. (LXI 



ii'a qu'un iiombre fini de zéros, il s'ensuit que, å partir d'uiie 

 certaine valeiir v, la foiictioii f (z) est différeiite de in^ dans 

 tout domaine d^,, et, comme ces domaines remplissent toute 

 Taire comprise entré y et y, Téquation f(z) = inj^ ii'admet 

 donc qu'un nombre fini de racines dans cetle aire, et par 

 suite aussi dans le domaine T„. 



La fonction /(r) tendant sur les contours de T^ vers 

 rinfini sans tendre uniformément vers cette valeur å Tinté- 

 rieur dudit domaine, elle y prendra, d'aprés le théoréme IV, 

 toute valeur finie donnée, sauf une valeur au plus, en une 

 infinité de points. Comme w„ est une valeur exceptionnelle, 

 la fonction /(:;) y prend donc toute autre valeur finie en une 

 infinité de points, c. q. f. d. 



14. Du théoréme III on conclut immédiatement qu'aucun 



des domaines /l^(r) ne saurait étre enfermé dans un angle 



71 

 inférieur å -. Il s'ensuit qu'il y a, sur tout rayon extérieur 



aux angles A, quelque grand que soit ?, des points arbitraire- 

 ment éloignés qui font partie d'un domaine J^(r)^). 



D'une maniére plus precise nous pouvons démontrer que 

 f (z) tend uniformément vers rinfini dans tout angle B 

 extérieur aux angles A. Pour cela il nous suffit de faire voir 

 que, quelque grand qu'on ait pris le nombre r, la portion de B 

 qui est extérieure a une circonférence suffisamment grande 

 fait partie du domaine /i (r) compris entré les mémes 

 angles A que B. S'il n'en était pas ainsi on pourrait trouver 

 un nombre r tel qu'il existe, sur Tun des cötés de B, une 

 infinité de points arbitrairement éloignés qui sont tous 



*) Sur un rayon arbitrairement voisin d'un cöté de Tangle An la fonc- 

 tion f{z) tend vers (On, si ce rayon est intérieur å An, tandis que, d'aprés 

 ce que nous avons dit, cela n'a pas lieu s'il est extérieur a cet angle. De 

 ce fait on peut déjå conclure, d'aprés un théoréme établi par M. Ernst 

 L i n d e 1 ö f (Mémoire sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions 

 monogénes et sur quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisi- 

 nage dhin point singulier essentiel, Acta Soc. Scient. Fennicae, Tome XXXV, 

 1908, p. 32—33), que Téquation f{z)^=.C, pour toute valeur finie de C, ex- 

 cepté peut-étre une seule valeur (laquelle est, dans le cas actuel, la valeur 

 (On), admet une infinité de racines dont Jes arguments tendent vers celui du 

 cöté envisagé de An, en méme temps que leurs modules augmentent indé- 

 finiment. 



