A N:o 1) Sur les valcurs asymptotiques des fonctions cnlicres. 11 



convergence se confoiid avec Texposant de coiivergeiice o 

 des zéros de G(z), et 2° celles qui appartienneiil aux domaines 

 infinis J(a(r) el dont Texposaiit de convergence est egal å p. 



Si on prolonge les différentes branches de z=(p (w) depuis 

 le point w' du cercle \w — -w | ^ r vers o suivant un chemin 

 intérieur audit cercle, r tend toujours vers une limile finie, 

 do ne vers Tun des zéros de G (z), si la valeur iniliale cp (w') 

 de la branche en questioji se confond avec une racine de la 

 premiére catégorie, mais vers Tinfini, si rp (w') est une 

 racine de la seconde catégorie. Les racines de la premiére 

 catégorie peuvent donc étre regardées comme correspondant 

 aux racines finies, celles de la secoiide catégorie aux racines 

 infinies de Téqualion f(z)=o). 



Ces conclusions subsistent encore, excepté peul-élre pour 

 un nombre fini de branches de la fonction q, (w), si Ton y 

 remplace w' par une valeur finie quelconque ~w' et si Ton 

 fait décrire å w une ligne finie quelconque g joignant w au 

 point (f). 



Choisissons, en effet, un nombre r (> r) assez gi-and pour 

 que le cercle w — wj^r renferme le chemin g, et faisons 

 croitre le nombre r d'une maniére continue jusqu'å la valeur 

 r. Les différents domaines z/oj (/) considérés ci-dessus iront 

 constam.ment en s'élargissant, et certains d'entre eux pourronl 

 se réunir en un seul domaine connexe. Mais, en vertu des 

 resultats établis au n" 4, les doro.aines finis ,d(a{r) qui sonl 

 extérieurs å une certaine circonférence resteront d'étendue 

 bornée, et parmi les racines de Téquation f(z) = w, il ne 

 saurait donc y en avoir qu'un nombre fini qui, lorsque 

 w varie de w' å w' suivant un chemin compris dans le cercle 

 \w — o)\^r, sortent des domaines finis Ja (r) pour entrer 

 dans les domaines infinis J^j (r)- 



Nous arrivons ainsi å ce resultat: 



Etant doiinés une valeur arbitraire w' et un chemin quel- 

 conque g joignant le point w' au point lo, les racines de Véqua- 

 tion f(z) = w' peuvent étre divisées en deux catégories: r celles 

 qui tendent vers des valeurs finies lorsqu'on fait tendre w' vers 

 w suivant g et 2° celles qui tendent vers Vinfini. Uexposant 

 de convergence des racines de la premiére catégorie est toujours 



