10 Felix Iversen. (LXI 



y aurait sur le chemin X, choisi arbitrairemeiit, un nombre 

 infini de points ou arg (/(z) — oj)=arg(M;' — w), et la seconde 

 iious améiierait å une conlradiction avec le théoréme III 

 du no 3, lorsqu'on se rappelle que Taiigle d, qui renferme 

 /j et y2, est inférieur å .^. No tre assertion est donc prouvée, 



8. Nous avoiis ainsi trouvé que, dés qu'oii aura pris le 

 nombre r suffisamment petit, il y a, dans le plan des z, 

 précisément p domaines infinis Ja^ (r), a savoir ceux que 

 nous avons appelés J^^^ (/"),..., J^^ir). Chaque domaine 

 J^^{r) renferme toute la partie de Tangle a„ correspondant 

 qui est extérieure a une certaine circonférence, et admet 

 un seul contour qui s'étend å Tinfini dans les deux angles 

 d contigus å ö„. Tout autre domaine z/g, (/) est nécessaire- 

 ment fini, et la fonction w = f{z) en donne la representation 

 conforme sur une surface de Riemann ä un nombre fini de 

 feuillets, étendue sur le cercle | w — o) | ^ r. 



Si Ton a pris /■ suffisamment petit, Téquation f(z)=(') 

 ou bien n'admettra aucune racine, ou bien en admettra une 

 infinité dans Tun quelconque des domaines J^^{f). 



9. Apres ces préliminaires, abordons Texamen détaillé 

 du point transcendant w=w de la fonction inverse z—(f(w) 

 de la fonction (2). 



D'aprés le n^ 2, la valeur lo sera forcément une singula- 

 rité transcendante directement critique pour les portions 

 (f^(w) de la fonction inverse r=f^; (w) correspondant aux. 

 différents domaines infinis ^^^^(r), si les racines de Téquation 

 /(r)=w, qui coincident avec les zéros de G (z), sont toutes 

 extérieures auxdits domaines. Ceci arrive surement dans le 

 cas oii toiis les zéros de G (z) de module suffisamment grand 

 appartienneni aux angles ö„. D 'apres le n° 4, la plus grande 

 étendue d'un domaine fini J^ (/) quelconque est alors in- 

 férieure å une limite finie. Il s'ensuit que, w' étant un point 

 arbitraire intérieur au cercle | w — w | ^ r mais distinct de oi, 

 les racines z,', Za', ..., z^', ... de Téquation f(z)=w', dont 

 Texposant de convergence est nécessairement egal å p, 

 peuvent étre divisées en deux catégories: P celles qui appar- 

 tiennent aux domaines finis Ja, (r) et dont Texposant de 



