A N:o 1) Sur les valeurs asymptotiques des fonctions entieres. 9 



branches de courbe infiiiies, y^ et j/g. faisaiit respeclivemenl 

 partie du contour de J et du contour du domaine J^^ {r) 

 avoisinaiit telles que rinégalité |/(r) — tu|>r serait vérifiée 

 en tout point situé entré ces deux branches et suffisamment 

 rapproché de Tune ou de Tautre. Lorsque z parcourt Tune de 

 ces branches, soit )\, le point u) = /(r) décrit une infinité de fois 

 la circonférence | w — oj | = r. En effet, dans le cas contraire, 

 il tendrait nécessairement vers un point déterminé de cette 

 circonférence, et la valeur correspondante w serait par suite 

 une valeur asymptotique finie de /(z) distincte de oj. Mais, 

 d'aprés le n^ 4, j{z) n'admet, hors de oj, aucune valeur 

 asymptotique finie. 



Ceci pose, joignons )\ et j'2 par un chemin k, prenons 

 Ain point w' de la circonférence | w — o)|= r, et désignons pai' 

 r/, Tg',..., r„', ... les racines de Téquation f{z)^w' situées 

 sur Yl au dela de Ä. Prolongeons ensuite les elements de 

 la fonction inverse z—(p{w) de iy = /(r) correspondant aux 

 différents points z^', z.^, ... depuis w' å Finfini dans la direc- 

 tion arg (uj — oj) = arg {w' — oj), en contournant d'une ma- 

 niére déterminée les points critiques algébriques. Les diffé- 

 rentes branches 2=^) {w) décrivent alors des chemins (j/, 

 og',-- distincts entré eux et s'étendant respectivement des 



points 



-1 j -2 ' 



å rinfini. Sur chacun de ces chemins on 



aura arg (/(r) — oj) = arg {m' — oj) et | /(r) — ttj|>r. Les che- 

 mins (jj', 02',.-. ne sauraient par suite couper les courbes 

 /'i 6^ /'2' puisque sur celles-ci |/(z) — w | =/•. Ou bien ils 

 doivent donc tous traverser le chemin \, ou bien Fun au 

 moins d'entre eux doit s'étendre å Tinfini enlre /^ et j'2. 

 Or la premiére conclusion impliquerait cette absurdité qu'il 



