AN:ol) Sur les valeurs asymptotiques des fonctions entiéres. 7 



6. La fouclioii iiiverse z=(p (w) de la fonctioii (2) pré- 

 senle la singularité traiiscendaute iv=w, mais ii'admet, 

 d'aprés ce qui précéde, aucune autre singularité Iranscen- 

 dante å distance finie. Nous verrons que le point transcendanl 

 io peiit étre oii bien diredement, oii bien indiredement critiqiie, 

 el que ceci dépend des arguments des racines de Téqualion 

 f(z)=^(o ou des zéros de G(z), mais nullement de leurs 

 modules, ni, par suite, de Tordre o de G{z). En d'aulres 

 termes, il peut arriver qu'une infinité de branches de (p {w) 

 lendent vers Vinjini lorsquon les prolonge vers v> siiivant un 

 chemin quelconque, tandis que, pour une autre disposition 

 des arguments des zéros de G (z), toute branche de (p {w), pro- 

 longée vers ot suivant un rayon arbitraire, tend vers iun de 

 ces zéros, donc vers une limile finie, et cela quelque petite 

 que soit la densité des zéros en question. 



7. Nous avons déja dit que /(-) tend uniformément vers 

 C) dans les angles a. D 'autre part, d' apres ce qui a été dit 

 ä la fin du n^ 4, tout angle b peut étre enfermé entré deux 

 chemins r^ s-ur lesquels f{z) tend vers Tinfini, compris 

 respectivement dans les deux angles d avoisinants. 



Décrivons maintenant de Torigine comme centre une 

 circonférence C sur laquelle /(r)4=(fj et désignons par //- le 

 minimum, de j /(r) — w| sur C. Si Ton a pris le rayon de C 

 sufiisamment grand, | /(r) — w| sera supérieur å // sur les 

 portions extérieures å C des différentes courbes r^ définies 

 ci-dessus. Cela étant, fixons un nombre r< u, puis prenons, 

 sur la bissectrice de Tangle a„, le point r„ le plus éloigné 

 ou /(z) — (f)\=r, et désignons par (f^{w) Télément de la 

 lonction inverse z = (p{w) de la fonction (2) correspondant 

 ä ce point. 



Si Ton prolonge cet element (p^ (w) de toutes les maniéres 



possibles dans le cercle \w — o)\^r, les points correspon- 

 dants z = q>{w) rempliront un domaine bien déterminé 

 ,/^^(r) (voir n" 2), qui est nécessairement infini puisqu'il 

 renferme toute la portion de la bissectrice de a„ située au 

 dela du point r„. D'aprés la maniére dont nous avons déter- 

 miné le nombre /•, le domaine J^^\r) est situé tout entier 

 en dehors de la circonférence C et, d'autre part, compris 



