A N:o 1) Sur Ics valeurs asyniptotiques des fonctions enticres. 5 



— (t) soit inférieur å p. On sait que Tordrc p est alors entier 

 et que / (r) peut s'écrire 



(2) /(z)=r.i-|-c^(=^>.G(z), 



ou P (z) esl Ull polynome de degré p et G(z) un produit 

 canonique d'ordre ^>. 



Soient .4j, A^,..., Ap et B^, B^,..., B^ les augles de graii- 



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deur- dans lesquels la partie reelle de P{z) tend respec- 

 tivement vers les limites — oo el + oc , et d\, tVg,..., d^,, les 



TT 



angles de grandeur - (ou o est > 2p et d'ailleurs aussi 



grand qu'on voudra) qui admettent comme bissectrices les 

 cötés des angles précédents. Soient enfin a^,..., Gp et b^,..., 

 bp les parties de A^,..., Ap resp. B^,..., Bp qui sont exté- 

 rieures aux angles d\,..., d2p- 



Dans les angles a le produit e^^^^ • G{z) tend uniformé- 

 ment vers zéro etrpar suite, f(z) vers lo. La fondion (2) 

 présente donc la valeur asymptotiqiie o). 



Dans tout angle b on a, pour r| suffisamment grand, 

 c^ -'^ I >e'^ ''''', .4 désignant une certaine constante posi- 

 tive. D'autre part, d'aprés les théorémes II et II', la f o nc- 



tion G(z) vérifie Tinégalité | G(r) | > c" ' ^ I ^'''^ dans toute la 

 partie du plan qui est extérieure å certainsdomainesd'étendue 

 bornée entourant les zéros de G(z). Donc, si 0<A'<.4, 

 rinégalité | /(r) j>e^''^'^ sera vérifiée en chaque angle b, si 

 Ton en exclut certains domaines dont la plus grande éten- 

 due ne dépasse pas une certaine limite finie. Puisque cette 

 méme propriélé subsiste évidemment dans un angle b' 

 renfermant intérieurement Tangle b, mais compris lui-méme 

 dans Tangle B, on en conclut qu'un chemin infini sur lequel 

 |/(z)| reste inférieur a une limite donnée ne saurait avoir, 

 en dehors d'une certaine circonférence, aucun point commun 

 avec Fun des angles b. De cela et de la propriété des angles 

 a rappelée plus haut on conclut que tout chemin infini sur 

 lequel m<\ f(z) - o}\< M, oii m et M sont des nombres 



