A N:o (5) Das Kriterium Lagran{^e's. 3 



lich rf 2 = i—^)(P-2—^Q2)- Ganz in derselben Weise wird 

 gezeigt, dass d_j=(P_, — w(^_,) ist, woraus vermittels voll- 

 sländiger Iiiduktion die allgemeine Gleichung 



(9) d, = {-ir + '{P,-coQ,) 



hervorgeht. Denii falls rf„_2=(— l)"^H^u-2— "'0^-2) und 

 (/,, j=(_i)''(p^,^_o>(2„ _i) ist, erhållen wir nach (1) und (5) 



Aus (9) und (7) folgt ferner 



und weil keine Grösse in diesen Gleichungen negativ ist 

 (vgl. (3) und (6)), erhalten wir mithin d^ iQv^^ > d„_ i^u^ <" 

 und daher 



(11) c?„_irT„<:c, 



wo die Konstante c die grössere von den Zahlen 1 und co angibi. 

 Hieraus geht schliesslich nach (6) die Beziehung 



(12) limd„=0 

 hervor. 



^ § 2. 



Falls u) speziell eine rationale Zahl p ; q ist, haben wir 

 nach (9) d„= p„ ; q, wo p„ eine nicht negative ganze Zahl 

 angibt. Mit Rucksicht auf (12) können wir aber einen Index 

 Vq so gross wählen, dass d„^<\ :q ist; daher muss p„„ = 

 und mithin auch d„^ = O sein, woraus folgt, dass der Ket- 

 tenbruch (4) abbricht. Und umgekehrt: falls der Ketten- 



