4 Nils Pipping. (LXI 



bruch (4) ahbricht, indem wir (fiir einen gewissen Index ^o) 

 d„^ = erhalten, haben wir nach (9) w^P^^: Q^, und oi ist 

 folglich eine raiionale Zahl. 



Abbrechende Kettenbruche charakterisieren mithin die 

 rationalen Zahlen. 



§ 3. 



Aus dem Algorithmus (1) geht hervor, dass ein unend- 

 licher Kettenbriich (4) periodisch ausfällt stets und mir, wenii 

 es zwei Indices i und k (i > A") derart gibt, dass 



(13) dt:i^dj^ ' 



di d. 



Falls diese Bedingung erfullt ist, setzen wir 



(14) JL=.^=^> 



und haben dann (vgl. (3)) 



(15) O<0<1. 



Nach (10) und (14) bekommen vAr fiir v = k 

 O = d,_i Qk + di (?,_!, Oio = d,_, P, + d.P,._; 

 und mithin wegen (9) 



(16) = Al + Bjio, 00) = Aa -f- B^io, 



wo Aj, -Bl, Aa, B2 ganze Zahlen sind. Nach Elimination von 

 O wird dann erhalten: 



(17) B^w^ + {A, — B^) OJ — A2 = 0. 



