A N:o 6) Das Kriterium Laj5ranj;e's. 5 



Diese Gleichuiig ist keiiie Ideiitität (wäre ^i— O, hatten 

 Avir iiähmlich nach (16) O = A-^, was mit (15) in Wider- 

 spruch stelit), und sie ist auch nicht reduzibel (vgl. § 2). 

 Wir haben somit bewiesen, dass jeder periodische Ketten- 

 bnich zii einer qiiadratischen Inationalzahl gehört. 



Umgekehrt nehmen wir jetzt an, dass m eine quadratische 

 Irrat ionalzahl ist und mithin einer irreduziblen Gleichung 



(18) ö-o'"^ +^iw +ö'2 = 



mit ganzzahligen Koeffizienten geniigt. Hierbei können wir 

 immer 



^19) go>0 



rWählen. 



Es sei oj' die andere Wurzel der Gleichung (18). In Ana- 

 logie mit (9) setzen wir 



(9)' d', = {-\r+'{P,-a/Q,) 



und haben dann fiir jeden Index v 



(20) I d; I > O, rf„ > O, 



weil ja OJ und o/ unserer Annahme gemäss algebraische 

 Zahlen zweiten Grades sind. Der zu to gehörige Kettenbruch 

 (4) ist m. a. W. unendlich. 



Wir wollen aber noch zeigen, dass er periodisch ausfällt, 

 und zu dem Ende betrachten wir die Gleichung 



,2,) ,..,„.;(.^y(._^-^)=o. 



Die Koeffizienten derselben 

 (22) A,= g,Xdo, ^.= -^o'(rf.-W. + dX-i)' C,=^goX_A-i 



