6 Nils Pipping. (LXI 



sind als symmetrische Funktionen der Wurzeln ot, (»/ dei' 

 Gleichung (18) rationale Zahlen, ja sogar rationale ganze 

 Zahlen, weil g^o), g^o/ und mithin auch gQcl^, gQd„, r/o ^y-i» 

 f/o^p-i ganze algebraische Zahlen sind. 



Nach (11) und der letzleren Beziehung (3) haben wir 



(23) d„<d,_,<-, 



und wcnn wir 



(24) • M = 1 + I o/ 

 setzen, ist ferner mit Riicksicht auf (8) 



(25) |d;|, \d'„_,\<Mo,. 



Wir erhållen milhin nach (22), (23) und (25) 



(26) \A;\^ g,' cM, \B,\<2 g,' cM , C, \ ^ g,^ cM, 



aus welchen Beziehungen hervorgeht, dass die rationalen 

 ganzen Zahlen A^, B^, C„ absolut unter einer von v unab- 

 hängigen Schranke bleiben. 



Die Anzahl der verschiedenen Gleichungen (21) ist somit 

 endlich, und dasselbe gilt dann auch von den Wurzeln d„_^:d„ 

 derselben. Es gibt also zwei Indices i und Å% fiir welche die 

 Gleichung (13) besteht, und der Kettenbruch (4) ist daher 

 periodisch. 



Nunmehr haben wir also vollständig bewiesen, dass perio- 

 dische Kettenbriiche die reelleii qiiadratischen Irrationalzahleii 

 charakterisieren. 



Dieser Satz wurde wie bekannt schon von Lagrange^) 

 angegeben, und ist später von mehreren Forschern bewiesen, 



*) Abhandlungen der Akademie zii Berlin, Bd. XXIV. 1770; Werke, Bd. 

 II, S. 603 ff. 



