(1) 2+'''^"^'' 



R. J. Backlund. (LXI 



2 

 T<t<T+l, 



wo d eiiie positive Zalil ist, die beliebig klein gewählt werden 

 kaiin. 



Die Existenz einer endlichen oberen Grenze von a(o) in. 

 jeder Halbebene o^Oq lässt uns schliessen, dass die Anzahl 

 der Nullstellen der Zetafunktion im Intervalle T^t^T ^i- 1 

 gleich O (log T) ist. L a n d a u i) hat dies mit Hilfe des 

 Jensenschen Satzes bewiesen, und sogar fiir alle Dirichletsche 



Reihen der Form .^--^ in ihrer Konverqenzhalbebene. 



Wenn die Richtigkeit der Lindelöfschen Hypothese voraiis- 

 gesetzt wird, so wird das Ergebnis der LandauschenMethode, 

 dass A(T)- o (log T) ist (Satz 1). Obgleich nicht aiis- 

 driicklich hervorgehoben, gibt dieser Satz, als gleich einzu- 

 sehende Modifikation des Landauschen Satzes, naliirhch 

 nichts eigentlich neues. 



Bemerkenswerter ist, dass auch die Umkehrung dieses 

 Satzes richtig ist (Satz 2). In dieser Riclitung hat ja L i 1 1 1 e- 

 w o o d 2) bewiesen, dass wenn die Riemannsche Vermutung, 



l:(s)=^0 fiir a>A- und also A{T) = Q, wahr ist, so ist anch 



die Lindelöfsche Vermutung w^ahr. Der Nachweis, dass diese 

 Vermutung auch unter den weniger weitgehenden Voraus- 

 setzungen des Satzes 2 richtig bleibt, gelingt auch durch 

 den Beweisgang von L i L 1 1 e w o o d, wenn dieser, statt 

 direkt auf die Funktion L(s), auf eine geeignete Hilfsfunktion 

 angewendet wird. 



') Vhtr die Nullstellen Dirichletscber Reihen (Sitzungsberichte der Kgl. 

 Preussischea Akademie der Wissenschaften, Bd. 41, 1913). 



^) Qnelqnes conséqiiences de rhypotbese que la fonction C(s) de Riemann 



n'a pas de zéros dans le demi-plan R{s)';:>— (Comptes reiidus, Bd. 154, 1912, 



S. 263—266). 



