14 K. Wäisälä. (LXI 



Es sei ferner A' diejenige unter den Zahlen 1, 2, ..., n — 1, 

 fiir welche 



(35) ! sin A-y I > I sin 7/9) I (i' = 1, 2, ..., /? — 1) 

 ist. 



Wir setzen in ff>(u,x-^) fiir u^, u^, ..., «a-_i» ^k+i' •••' "n-i 

 in jeder möglichen Weise die Werte O, 1, ..., p ein. Wie 

 ersichtlich können wir jedesmal fiir u^. einen solchen ganz- 

 zahligen Wert auswählen, dass 



0<x{u)<i^\ sin k(p \ 

 wird, und dann fiir Uq einen solchen Wert, dass 



wird. Fiir iz^ = iZg = ••• = iz„_j =0 känn die Funktion 

 i;;(u) die beiden Werte O und 1 annehmen. y'{ii) nimmt 

 also jedenfalls (p + l)"~^+l Werte an. Jedem Wert von 

 i/'(u) entspricht ein bestimmter Wert von /(u). 



Teilt man das Intervall (0,1) in (p + 1)2 gleiche 



Teile, so gibt es jedenfalls ein Teilintervall, wo wenigstens 



" -1 

 (p + l)2 +1 von den genannten Werten von yi(u) 



liegen. Von den ihnen entsprechenden Werten von ^{u) 



1_ 1 

 werden dann, wenn das Intervall (O, r\ sin kcp\) in (p + 1)- 



gleiche Teile geteilt wird, wenigstens zwei Werte demselben 

 Teil angehören. Biidet man den Unterschied der entsprechen- 

 den (p{u, Xj), so ergibt sich ein gewisses 



(p{bp, X,) = iij{bp) + ixibp), 



wo die Zahlen bp nicht alle gleich Null sind und den Be- 

 dingungen 



(36) \bp^,\<p {v^l,2,...,k-\,k + l,...,n-l) 



