2 E. Hoppe, 



En éliminant S- ou r on obtient deux formes de l'équation différen- 

 tielle : 



r'-^i^^' = {f^r■. (2) 



3 log/'w = tg3- 3(î; + ^) (3) 



2. Enveloppe du sxjstème de courbes. 



La seconde équation (1) fait voir, qu'il y a, pour toute valeur de 

 V. qui peut entrer dans la fonction, et pour toute valeur de r<_f'v^ une 

 seule valeur de cos 3-, et, par cette raison, deux valeurs de 5-. Pour 

 r =: f' V ces deux valeurs coïncident en s'évanouissant, et pour r >■ f' v 

 elles cessent d'être réelles. Donc tous les rayons, dans l'étendue du sy- 

 stème, sont traversés par une courbe 



r = f'v , 



ligne de démarcation du système totale. Supposé que la fonction /' v soit 

 continue dès v = o jusqu'à v = 'Itt , cette courbe entoure le système et 

 renferme le centre. Je prendrai la liberté de l'appeler enveloppe du sy- 

 stème,' quoiqu'on général elle ne soit pas en contact avec les courbes. 



Dans chaque point de l'aire entourée deux courbes se rencontrent 

 sous un angle = z B- , l'une s'éloignant, l'autre se rapprochant du centre; 

 c'est pourquoi le système total se décompose en deux sj^stèmes distingués 

 par leurs inclinaisons contraires au rayon. Chaque point de l'enveloppe 

 est le point de contact de deux courbes, qui y aboutissent, ou, si nous 

 préférons de le regarder d'une autre manière, le point de rebroussement,- 

 dans lequelle une courbe est réfléchie au rayon, et passe de l'un système 

 à l'autre. En général l'enveloppe fait des angles finis avec toutes les cour- 

 bes. Pour qu'elle soit en contact avec toutes-elles, il faut, qu'elle soit nor- 

 male à tous les rayons, c'est à dire, qu'elle soit un cercle. Outre cela il 

 est possible, qu'elle a quelques points de contact, ce qui aura lieu, a\f"v 

 s'évanouit pour quelques valeurs de v. 



3. Deux solutions particulières. 

 Si l'enveloppe est un cercle 



elle satisfait en même temps l'équation (2). La solution générale est obte- 

 nue de l'équation (3) , qui donne : 



V -\- ô- ■:= t ^ const. 



