Système de Lignes et de Surfaces Egales. 3 



et on a d'après (1): 



r = c cos (t — v) . 



Donc le système cherché consiste de cercles aux rayons = y c , qui passent 

 par le centre, et du cercle enveloppant comme courbe singulière. 



Le second cas d'intégrabilité a lieu, si une ligne droite quelconque 



œ = c (4) 



fait partie du système. L'eu\eloppe est une courbe du quatrième degré, 

 réprésentée par l'équation polaire 



7- cos'^ y = c . 



Elle consiste de deux branches séparées, au dehors des deux parallèles 

 .r = + c , qui sont leurs tangentes dans l'arc des x , et elle a quatre points 

 d'intlexion 



1/3 



i/3 1/ 



.r = + y/ ^ c ; ?/ = +-, 



Relativement à la droite donnée (4) on a: 



fv = s^^ y =^ X tg V =: c tg V . 

 Donc l'équation d'une courbe du système quelconque peut être écrite: 



s X = c y (5) 



En la ditiereutiant deux fois et en posant 



Ix 3?/ 



— - = COS T , ^— = sm T , 



on trouve les équations suivantes: 



X -\- s cos r = c sin t , (6) 



2 cos r ?s — S sin r ^t = c COS r 3t , 

 dont la dernière a l'intégrale: 



2 s ]/cos T = cf^ r "j/cos T + « , (7) 







et l'équation cherchée en x , y est le résultat de l'élimination de s et t 

 entre les équations (5) (6) (7). 



L'arc s se trouve exprimé par deux intégrales elliptiques pour le 

 module (/y; car on a: 



/ 2rl/cosT = ]/2 {2E — F) , cos^ amF = cos r , 







où E désigne l'intégrale de seconde espèce pour la même amplitude. 



