Système de Lignes et de Surfaces Egales. 7 



5. Enveloppe du système des surfaces. 



II appert de l'équation (11), que u est une quantité déterminée pour 



chaque point. Comme il n'y a pas d'autres déterminations, tout point est 



le point intersection d'une suite continuelle de surtaces, dont les normales 



forment un cône droit 



ù) = const. 



autour de rayon. Quand on fait glisser le point le long- du rayon en di- 

 rection positive, le cône s'étrécit et tombe finalement dans le rayon pour 



T'^(^-)' CP' , c-- 1 (18) 



Aussitôt que r' surpasse cette valeur, il ne peut lui répondre aucun point 

 d'une surface. Donc l'équation (18) exprime ime surface de démarcation 

 pour le système de surfaces en question. Supposé que la fonction cp' aie 

 des valeurs finies pour toutes les directions du rayon, cette surface ren- 

 fermera le système de tous les côtés, et sera ici appelée son enveloppe. 



Toute ligne commune à une des siirfaces et à l'enveloppe est une 

 courbe spliérique, parcequ'elle est normale à tous les rayons qu'elle ren- 

 contre. Outre de telles lignes il peut exister encore des points communs. 

 Si {xyz) est un point d'une surface placé dans l'enveloppe, on a: 



X = r cos A cos/^ T l/ = ''' sin A cos^ ; ~ =r sin^ . 



En substituant ces valeurs dans (12) (13) (14), on trouve les trois équations 



ik 2>k 



^^sin^==(p' , 5;,- 0,-^0, 



qui, pourvu qu'elles soient compatibles entre elles, déterminent en général 

 un point. Il suit de-là, que le cas d'une ligne commune ne peut être que 

 la propriété de certaines surfaces distinguées. De l'autre part on peut ob- 

 server, que toute ligne d'intersection de l'enveloppe avec une sphère con- 

 centrique appartient à une surface. Donc il existe toujours, parrais les sur- 

 faces du système, une classe spéciale, caractérisée par la dite propriété, 

 dont l'ensemble est parcouru, lorsqu'on fait varier un seul paramètre, sa- 

 voir le ra3on de la sphère. 



Quant aux points communs, ils peuvent être points de contact ou 

 sommets de ressauts pointus, dans lesquels la surface aboutit. Le premier 

 cas a lieu, si l'enveloppe est en contact avec une sphère autour le centre 

 des rayons. Pour que tous ces points soient points de contact, il faut, 

 que l'enveloppe soit une sphère elle-même, ce qui a lieu pour 



Cp'= c'(l + TO^ + n^)~î (10) 



