8 R. Hoppe, 



Il suit d'une simple intuition, qu'une surface, qui coupe tous les ra- 

 yons, et dont la normale varie continûment, a du moins un point de contact 

 avec une sphère concentrique, savoir dans son rayon vecteur le plus grand. 

 Ce point se trouve toujours dans l'enveloppe, qui est en contact avec la 

 même sphère dans la même point. Or ce ne sont que des lignes ou des 

 points singuliers, dans lesquels l'enveloppe non-sphérique peut toucher des 

 sphères concentriques. Par conséquent, si nous mettons à part les surfa- 

 ces particulières, qui passent par ces lignes ou par ces points, tout le reste 

 ne saurait pas couper tous les rayons, pas même s'étendre jusque là, où 

 le rayon vecteur devint un maximum. Donc, en général les surfaces seront 

 limitées à de certaines enceintes de rayons, dans lesquelles leurs plans 

 tangents demeurent partout obliques. Des lignes, dans lesquelles elles é- 

 prouvent une limitation soudaine, pendant que la normale continue à varier 

 en même sens, ne peuvent être que des arêtes de rebroussement. Il faut 

 remarquer, que nous sommes obligés d'admettre la variation continue de la 

 normale, parcequ'il n'y a pas d'autre point de vue pour la conjonction des 

 éléments des surfaces. 



Voilà le résultat des considérations précédentes. Les surfaces dont 

 il s'agit sont en général ceintes d'arêtes de rebroussement. Il existe d'entre- 

 elles une suite continuelle de celles, dont les arêtes tombent dans l'enve- 

 loppe en forme de courbes sphériques. 



Les ressauts pointus, par lesquels de certaines surfaces touchent à 

 l'enveloppe, seront plus bas, eu égard à leur forme remarquable, l'objet 

 d'une considération spéciale. 



6. Arêtes de rebroussement. 



La condition analytique d'une arête de rebroussement consiste en ce 

 que Tix , Tiy , 'iz s'évanouissent et changent de signe, pendant que A, ju. con- 

 tinuent à varier en même sens. On peut l'écrire: 



3A * ci/M. " 3A ' S/* ^ 3A * S^ ^^^ 



La relation entre ^A et ^/x, sous laquelle 3«, s?/, 'è: s'évanouissent, répond 

 à une direction normale à l'arête. 



En regardant k comme déterminé en A , ^w. , nous pouvons prendre 

 les équations (15) (16) pour expression de la surface. Soit pour abréger 



Ik . yk 30 



3A ' 3A?^ ' 3A ' 



