10 R. Hoppe, 



puis les valeurs analogues relatives à la normale principale: 



(sin (p sin V sin /u. — cos </) cos ^) cos A — sin f cos V sin A , 

 (sin f sin r sin/* — cos^ cos/*) sin A + sin^ cos F cos A , 



— sin </) sin V cos f^ — cos (p sin /n. ; 

 enfin les valeurs relatives à l'axe de courbure: 



— (coscp sinFsin^ + smf cos^) cosA -\- coscp cosFsiuA , 



— (cos^sinFsinyM. -)- sin</) cos^) sin A — cou cp cos F cos A , 

 cos^) sinFcoSyM. — sin</) sin/* . 



Le rayon de courbure est 



iVcos«^ 



~ COS^FcOSyM. ' 



l'angle de contingence des plans osculateurs 



= 3/4 sinJ'-f- ?A cosJ'cos/t — if. 



7. Deux solutions particulières. 



J'ai déjà fait mention du cas, où l'enveloppe est une sphère, et qui 

 d'après (19) a lieu pour 



L'équation (11) se réduit ici à 



^ loù 



Or la quantité -^ exprime l'intensité de l'illumination qu'un élément 



de la surface reçoit par des rayons jetés du centre avec l'intensité = I en 

 toutes directions. Donc les surfaces cherchées sont aussi déterminées par 



la propriété, que cette intensité d'illumination est constante = 7^. Dans un 

 mémoire antérieur (Tome VI. N. VIII.) j'ai déduit l'équation de ces surfaces. 

 Elle est le résultat de l'élimination de ^ entre les deux équations 



j arc sin -^ = arctg —-v -\- sint^ cos?« \|/' (sin Ç cos n) 



— 4^ (sin Ç cos«) , 



v = arc tg (tg^siuî«) + "4^' (sin(^ cos?/) , 

 où 4^ désigne une fonction arbitraire, et où 



