Système de Lignes et de Surfaces Egales. 11 



33- „ . z y 



-- , cos.y- = u , smu = - , tffv = 



Une des surfaces est la sphère elle-même. 



Le second cas d'intégrabilité est celui, où une des surfaces est un 

 plan z = c . Il lui répond la valeur 



cp' = c« . 



Pour un Ç' constant, lequation (16) peut s'intégrer séparément. Si l'on 

 l'écrit 



3z^z 



— COSyM. 4- -^SlUyM. = c^ , 



elle est linéaire en s^, et on trouve sans difficulté: 



r, = I c^ cos> (a A + ;^^) , (22) 



où %^A est une fonction arbitraire, et où 



Xf^ = f COS,~f f^ 2)fjc . 



Les X et les y sont d'après (12) (13) déterminés par 



«cosA + ?/sinA=^ï— ^(«2 — c^sin^), .... (23) 



— «sinA -j- ycosA= — T — 4'' A (24) 



COS^yM. 



L'enveloppe du système est une surface de rotation 



r^sin^M. 

 ou bien en coordonnées rectangulaires 



r^sin^M. = c^ , 



^' + r + ^' = 7^ 



Elle consiste de deux nappes symétriques par rapport au plan des œy et 

 placées au dehors des deux plans parallèles s = + c , qu'elles touchent 

 dans l'axe des z. Tons les rayons la rencontrent excepté ceux, qui se 

 trouvent dans le plan des xy . La courbe génératrice a un point d'inflexion 

 pour 



/5xi 



= 13^- 



Chacun de ses cercles parallèles est l'arête de rebroussemcnt d'une 

 des surfaces du système; et chaque ligne, dans laquelle une surface touche 



