Dans cette première Partie de mon travail, j'ai t-bcrclié à établir, comme 

 préliminaire, la conception de synecticité, un peu modifiée pour être applicable, d'uue 

 manière plus commode, à l'étude des fonctions complexes. Depuis, j'ai exposé la 

 signification géométrique de la dérivée et de la priuiitive, de la différentielle et de 

 l'intégrale définie d'une fonction complexe, après quoi j'ai démontré le tbéorème fon- 

 damental de Cauchy, avec autant de clarté qu'il m'a été i)üssible. Comme consé- 

 quences immédiates de ce théorème, j'ai étudié les intégrales (jue j'appelle cb-culaircs 

 et linéaires, dont les premières remplacent d'une manière simple et naturelle les 

 résidus de Caucuy, tandis que les dernières rendent superflu la manière de voir 

 assez artificielle, qui est fondée sur les "surfaces de Kiemanx". Comme conséquence 

 ultérieure du tbéorème fondamental de Cauchy, j'ai traité la tbéorie des séries dans 

 le cas où le cercle de convergence limite le champ de synecticité, ce (pii ma conduit 

 à une nouvelle série, d'une très-grande généralité, qui comprend comme cas parti- 

 culier celle de Taylor, et qui se prête à un grand nombre d'applications. Ensuite, 

 j'ai cherché à établir une base aussi générale que possible pour les fonctions pério- 

 diques, l'exposition de cette théorie étant notablement simplifiée par l'introduction 

 d'un nouveau terme, celui de périodoïde. De plus, j'ai expose une tbéorie du champ 

 de synecticité de la limite supérieure de l'intégration, qui est d'une grande impor- 

 tance dans l'étude des fonctions périodiques. Enfin, comme l'application d'une con- 

 ception nouvelle, appelée reiiroductivité des fonctions, j'ai obtenu une généralisation 

 du célèi)re théorcme d'addition d'AuEL, généralisation qui ouvre un nouveau champ 

 d'uue immense étendue pour l'étude de nouveaux types de fonctions périodiques. 

 'Vient ensuite, comme application pratique de toutes les théories précédentes, le dé- 

 veloppement de quelques fonctions périodiques, sans paramètre ou à un seul para- 

 mètre, éclairci par des constructions géométriques, autant que j'en ai pu trouver. 



Je livre maintenant mon travail à l'indulgente appréciation des géomètres, 

 convaincu que ce (jui a été fait auparavant et aujourd'hui dans cette branche des 

 Mathématiques n'est qu'un premier commencement d'une nouvelle et vaste théorie, 

 dont l'achèvement réclame les efforts de beaucoup de travailleurs et, peut-être, beau- 

 coup de siècles. 



