2 Göran Dillner, 



elle n'est pas un infiniment petit de même ordre pour tous ces points, la 

 fonction f{z) doit être considérée comme discontinue au point a. 



2. Une fonction complexe f {:) est dite œcodrome*) au point a, 

 lorsque /(« + ^0 reprend sa valeur première quand h, en accomplissant 

 une révolution entière, a décrit un contour infiidment petit autour de a. 

 Nous avons donc pour le critérium d'œcodromie d'une fonction f{z) au point 

 a, en faisant h = p , la formule 



Chaque point où ce critérium n'est pas satisfait est dit point d'embran- 

 chement, puisque la fonction /(-), en faisant passer z un tel point, com- 

 mence à se ramifier en branches distinctes , suivant que z ne fait que 

 passer infiniment près de ce point, ou qu'il en fait une ou plurieurs fois le 



tour. Par exemple, la fonction f{z) = Çz — a)" = ((> )" commence au 

 point a à décrire n branches distinctes, de sorte que l'on obtiendra la pre- 

 mière, la seconde, etc., jusqu'à la n'"*"" branche, suivant que z passera infi- 

 niment près du point a, ou qu'il en fera une, deux, ...., n — 1 fois le 

 tour. De même, la fonction f(z) = log (* — a) = log ç^,, commence au 

 point a à décrire des branches distinctes, en nombre quelconque, puisque 

 cette fonction, en passant par le point a, prendra des valeurs différentes, 

 selon qu'on passera simplement à une distance infiniment petite de ce point, 

 ou qu'on en fera le tour une ou plusieurs fois. 



3. Si une fonction complexe continue f(z) est œcodrome en tout 

 point de l'aire d'un contour fermé P, elle est aussi œcodrome le long du 

 contour lui-même, c'est-à-dire qu'elle reprend sa valeur première, lorsque z, 

 en décrivant le contour P, revient à son point de départ. 



La vérité de cet énoncé s'aperçoit immédiatement, si l'on imagine 

 que l'aire rentermée dans P soit partagée en ses éléments infiment petits et 

 que le contour de chaque élément soit parcouru successivement par z; alors 

 la fonction f(z) doit décrire un réseau continu d'éléments infiniment petits 

 correspondants. En considèrent la suite continue des lignes infiniment peti- 

 tes extérieures qui forment le contour P, à ces lignes doit correspondre une 



*) Au lieu du mot monodrome , employé par Caucliy, nous employons le terme 

 plus descriptif acodrome [de oixuç, domicilie, et ôquikic, cours], surtout parccque le 

 mot monodrome a acquis une signification un peu différente de celle que nous vou- 

 lons désigner. [Voyez Briot et Bouquet, Fonction doublement périodiques, pag. 3]. 



