Göran Dillner, 



IL DÉRIVÉE ET PRIMITIVE DUNE FONCTION COMPLEXE. 



Soit /(s) une fonction complexe et décrivons avec z = OP 

 [fig. 1] un contour PP' pour tous les points 

 duquel f{z) est synectique; alors la fonction 

 y(:) = OiQ doit décrire un contour correspon- 

 dant QQ. En posant OP'^z\h et par 

 suite OiQ'=/(j + Ä), la dérivée f'{z) en 



un point P est définie comme lim „p- pour 



lim PP' = ou, en faisant QQ = a/(:) et 

 PP' = Ä = A^; 



lim 





= lim 



/(, + ;,)_/(,) 



^? =/(') 



(1)- 



c'est-à-dire, les difi"érentielles dS et fZs désignant les modules des éléments 

 de contours en des points correspondants Q et P, et les quantités s et a- 

 leurs arguments: 



J ^^^ — dz ~ {ds), — \ds)^-„ 



(2), 



d'oîi il suit que la dérivée d'une fonction complexe est ('gale, quant au module, 

 au quotient des "elements d'arcs" de la fonction et de la variable indépendante 

 à des points correspondants , et, quant à V argument, à la différence des argu- 

 ments de ces éléments. 



Remarque 1. En désignant par T tt t les longueurs des tangents 

 Q M et PL et faisant celles-là proportionelles aux éléments d'arcs ou 

 T:t = dS:ds; on tire de la formule (2): 



donc, les diférentielles des quantités complexes doivent être considérées 

 comme coïncidant, tant en grandeur qu'en direction, avec des portions arbi- 

 traires des tangents qui sont proportionelles aux éléments d'arcs. Nous 

 pouvons, du reste, considérer, si nous voulons, ces portions des tangents 

 comme "infiniment petites", c'est-à-dire, comme coïncidant avec les éléments 

 des contours. 



