Traité de Calcul géométrique supérieur. .9 



ou, qui est la même chose, quand s = \-{-h^-^ ... Ä„ , c'est-à-dire, s 

 = la longueur absolue du contour P^P^P^ ... P„ , 



z 



moà. fj{z)dz < Ms (13). 



Ou aura donc cet énoncé: le module de l'intégrale définie d^ une fonc- 

 tion synectique*) est moindre que la longueur du contour, entre les limites de 

 l'intégrale, midtiplié par le plus grand modide que peut recevoir la fonction 

 entre ces limites. 



14. Si F(z) est la fonction primitive de f{z), ou f(2) = F'(z), 

 on aura, d'après les formules (1) et (8), les égalités suivantes: 



F(z,)-F{z,) =h,\f(z,)-^e,\, 



F{z,)-F{z,) =h\f{z,)+e,\, 



F(Z)-F(z„_,)= hjf(z„_,) + ej , 



où £i, f2, ..., e„ sont des quantités complexes dont les modules s'annu- 

 lent à la lim n == oo. En ajoutant ces égalités on aura 



F(Z)~F(z,) = I h,f(z,_,) ^Iks. . 



r=l r=l 



Si m est le plus grand module qu'aucune des quantités ei, fg---«« puisse 

 avoir, il s'ensuit d'après la formule (13), s désignant la longueur du contour 



entre les limites 2o et Z, que mod ZK^r < ^ns pour limw = oo, et par 



conséquent, puisque m s'évanouit à la limite: 



F{Z)-F{z,) = /f{£)dz (14), 



d'où résulte cet énoncé: F{z) étant la primitive de la fonction f(z), l'in- 

 tégrale définie de f(z) entre les limites z^ et Z est la différence des valeurs 

 de la primitive pour les substitutions Z et z^. 



Remarque 1. D'après cela, la sommation des séries complexes de 

 la forme (9) est toujours possible, dès que l'on connaît la primitive F{z) 



*) En parlant de l'intégrale d'une fonction synectique, nous entendons que la 

 fonction soit soumise à la condition d'être synectique en tout point du contour le long 

 duquel l'intégration est effectuée. 



Nova Acta Keg. Soc. Sc. Ups. Ser. in. 2 



