Traité de Calcul géométrique supérieur. -11 



2" De même on trouvera, en différentiant par rapport à la limite m- 

 férieure de l'intégrale, 



dff{z)dz 



-%^ = -/C^o) (16). 



3" En différentiant, de plus, par rapport à une quantité t, qui est 

 indépendante de z, on aura d'après la méthode donnée pour des fonctions 

 "réelles": 



^^//(2. t)ä 



! = /M.. (1,) 



dt ^„ ( di 



16. Si l'on fait décrire à z un contour fermé P [z^ = ^], la fonc- 

 tion f(z) , étant synectique , décrira aussi un contour fermé ; mais le con- 

 tour de l'intégrale, au contraire, doit donc être ou fermé ou ouvert^ d'où 

 proviendra cette classification importante des intégrales définies: 



1 " Le contour de Vintégrale étant fermé. 



Dans ce cas, chaque fois que z décrit de nouveau son contour fermé 

 P, le contour de l'intégrale correspondant, en vertu de la formule (9), coïn- 

 cidera en tout point avec le contour premièrement décrit, d'où l'on aura, 

 quelque nombre de fois que z ait décrit son contour P, 



fj{z)dz = Q. 



On en pourra donc conclure que, en fixant z en un point quelcou- 

 que du contour P comme limite supérieure, et en désignant par F(z) la 

 primitive de la fonction f(z) [(14)], l'intégrale définie 



n=j7(z)dz = F(z)-F(z^ (18) 



sera une fonction uniforme et par conséquent synectique [n" 15] de sa limite 

 supérieure, cette limite étant prise en un point quelconque du contour P. 

 On aura donc cet énoncé: 



Si l'intégrale définie dune fonction synectique^ prise le long d'un con- 

 tour fermé, est nidle, cette intégrale, prise depuis une limite inférieure donnée 

 jusqu'à une limite sttpérieure variable sur le contour, sera tine fonction synec- 

 tique de cette limite pour un point quelconque du contour. 



