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Göran Dillner, 



2° Le contour de Tintégrale étant ouvert. 



En ce cas, si l'on suppose que B^RR,, [fig. 4] représente le con- 

 tour ouvert que décrit l'intégrale, tan- 

 ■^''â- ^- dis que z décrit son contour fermé P, 



cette intégrale décrira d'après la for- 

 Ä.V. ~\. / \ mule (9), quand z décrit de nouveau 



son contour P, un contour égal et 

 parallèle R„R'R'„ qui a son point 

 de départ au point extrême du con- 

 tour précédent etc., tout en supposant 

 que f(z) soit œcodrome le long du 

 contour P. La même chose arrivera, 

 si l'on intègre en sens opposé, c'est- 

 à-dire, si l'on somme la série (9) dans l'ordre inverse, après avoir changé 

 Al, Aj etc. en — Aj , — h^ etc. D'après cela, en désignant par n la corde 

 Ro^n et par k un nombre entier quelconque, positif ou négatif, on aura 



z 

 ff{z)dz = Kn , 



~0 



où y, montre par sa grandeur, combien de fois z a décrit son contour fermé, 

 et par son signe, dans quel sens le contour est décrit. 



De là on conclura ainsi que, en fixant z en un point quelconque du 

 contour d'intégration comme la limite supérieure, R étant le point correspon- 

 dant du contour de l'intégrale et RqR la valeur même de l'intégrale, prise 

 depuis ,?o jusqu'à z, la valeur générale u de cette intégrale sera, en posant 

 R,R = F{£)-F{z,) = u, [(14)]: 



= ff{z)dz = F{Z) — F{Z,)^KSI = u, +X 



n 



(19) 



Cette intégrale est continue et finie [n" 15] mais représente, pour 

 K = 0, 1, 2 etc., des valeurs différentes, qui proviennent de ce que l'on 

 ajoute à une certaine valeur principale u^ de l'intégrale les valeurs 0, ri, 

 et en général x.n, quand a. = RoR„ = -RP' etc. La quantité complexe n 

 s'appelle la période, et la limite supérieure z, considérée comme une fonc- 

 tion de l'intégrale u, est une fonction périodique, c'est-à-dire, conserve iden- 

 tiquement la même valeur, quel que soit le multiple kü, que l'on ajoute à 

 la valeur principale ??(, de l'intégrale. On aura donc cet énoncé important: 



En désignant par Cl Tintégrale définie d^ une fonction synectique, prise 

 le long d\in contoiir fermé, Tintégrale elle-même, prise depuis une limite infè- 



