Traité de Calcul géométrique supérieur- 13 



rîeiire donnée jitsqiià une limite supirieure variable, sera une fonction con- 

 tinue et finie, mais multifo7'me, pour chaque point du contour; la limite su- 

 périeure, au contraire, sera une fonction périodique de Vintégrale, Cl étant 

 la période. 



Remarque. Nous voyons maintenant d'où provient cette classe im- 

 portante des fonctions qui s'appellent périodiques; elles sont les limites su- 

 périeures des intégrales multiformes, et fonctions de celles-ci. Bien que 

 nous n'ayons encore, par la notion déjà donnée de l'intégrale définie, au- 

 cun critérium général qui décide quand une intégrale définie est une fonc- 

 tion uniforme ou multiforme de sa limite supérieure, il y a toutefois bien de 

 cas, o\\ il est immédiatement possible de décider, si l'intégrale définie est 

 de l'une ou de l'autre espèce, comme cela a lieu lorsque la valeur de l'in- 

 tégrale est donnée par une primitive connue [n° 14, rem. 3], ou lorsque 

 les termes de la série (9) sont déterminés, quant à leurs arguments, de 

 sorte que leur somme ne puisse d'aucune manière former un contour fermé, 



I e^ 

 par exemple, les termes de la série de l'intégrale J —.dz, etc. D'après 



cela, il s'ensuit comme évident qu'un critérium général, qui pourra décider 

 quand l'intégrale d'une fonction synectique sera une fonction uniforme ou 

 multiforme, doit être d'une importance particulière. Nous allons donc faire 

 connaître les énoncés dont dépend ce critérium. 



lY. THEOREME FONDAMENTAL DE CAUCHY. 



17. Nous prenons pour point de départ les deux séries d'intégrale 

 suivantes , 



r=7î 

 V 



Ä,/(~".-:) et Z hfiC-ô 



Nous supposons , de plus , que les fonctions f(z) et /(^) soient synec- 

 tiques sur leurs contours respectifs , et qu'entre (!^ et z existe la relation , 



C= z-\-<p(z).Au (20), 



oil Au désigne une quantité petite positive, et (p(z) une fonction arbitraire 

 qui n'est déterminée que par la condition d'être synectique sur le contour de 

 z et de s'évanouir pour les limites Zg et Z, c'est-à-dire que l'on ait 



