16 



Göran Dillner, 



Fig. 6. 



sives P^P'P„, s'écartant d'un contour P^PP„ à un autre contour P^pP„ 

 [fig. 6]. Par la formule (28) on a donc démontré qu'en déviant le contour 



de z d'une manière continue [ce qui 

 peut se faire d'après la condition que 

 <p(z) soit synectique et (p'(~) finie] 

 d'une position donnée P^PP^ à une 

 position arbitraire P^fP^^ les deux 

 extrémités Zq et Z étant fixes, le 



z 



contour de Fintégrale ff(z)dz sera 



aussi dévié d'une manière continue de 



la position P^RP,, à une position 



Po^Pfij correspondante à la position 



PopP„, les deux extrémités Pq et R„ 



étant aussi fixes, tout en supposant 



que la fonction /(2) soit synectique et la dérivée /'(-) finie pour tous 



les points de l'aire incluse entre les contours PoPP„ et P^pPn et pour 



tous les points des contours eux-mêmes. 



Nous supposerons maintenant et dans ce qui va suivre, que la con- 

 tinuité de la fonction f{z) soit celle qui est déterminée par la condition, 

 que la dérivée /'(.:) soit une quantité finie [n" 6, rem. 2\ Le théorème 

 fondmnental de Cauchy peut donc être énoncé de cette manière. 



En intégrant une fonction synectique f(z) depuis un point Zq jusqu'à 

 un point Z, la valeur de l'intégrale est indépendante du chemin parcouru de 

 2(, à Z, poîirvu que f(z) soit synectique pour l'aire comprise entre les che- 

 mins en question*). 



*) Voyez Fonctions doublement périodiques, par Briot et Bouquet, pag. 21. 

 La démonstration de Caucby, que ces auteurs ont reproduite, repose sur l'hypothèse que 

 le Calcul des Variations avec ses règles [entre autres celle de la permutabilité d'une 

 variation et d'une differentiation] s'applique aussi aux quantités complexes, sans que 

 le sens de ce calcul soit établi d'aucune manière pour ces quantités. De plus, cette 

 démonstration ne se rapporte qu'à la déviation infiniment voisine P„P'P„ par rap- 

 port au contour donné P^PPn, et, à cause de cela, le théorème démontré ne peut 

 s'appliquer au cas, où la déviation s'écarte du contour donné par un espace inter- 

 médiaire tîui, qui quelquefois peut se rapprocher de l'infini. La démonstration exposée 

 par Bertrand [Cale. Intégral, pag. 295] est bornée à une variation de l'ordonnée, ce 

 qui repond à supposer ici arg(p(z) = ±|7r, supposition qui restreint d'une ma- 

 nière très-désavantageuse la forme de la déviation. D'ailleurs, cette démonstration 

 se rapporte aussi à une déviation qui est infiniment voisine du contour donné. — La 



