Traité de Calcul géométrique supérieur. 17 



Remarque. Puisque la déviation P^PP,,., ne dépendant que de 

 la forme arbitraire du contour auxiliaire <p [z) , peut être quelconque , 

 pourvu qu'elle se rapproche indéfiniment de la déviation immédiatement 

 précédente , il s'ensuit que le contour de z peut subir des changements les 

 plus singuliers, pourvu que la fonction f{z) soit synectique en tous les 

 points du contour variable. On aura une image très-claire de ces change- 

 ments pour une déviation continue, si l'on s'imagine qu'un fil, passant par 

 deux trous fixes Zf, et Z, change de forme de toutes les manières possibles, 

 en glissant par tous ses points dans le plan. 



18. En faisant passer par les limites d'intégration Zq et Z un con- 

 tour fermé z^PZA::^, que nous appellerons pour abréger P, on aura, 

 d'après le théorème précédent et à l'aide de la formule (12), 



;„/'.?•) z„AZ y.Ai„ 



Fig. 7. ff{z)dz =.. ff(z)dz = -fmdz . 



Donc l'intégrale prise le long du contour P 

 sera nulle, 



f{:^dz =0 .... (29), 



d'où Ton aura cet énoncé important: 



Uintégrale d'une fonction synectique., prise le long d\in contour 

 fermé , audedaus duquel la fonction n'a pas des points critiques, sera nidle ou., 

 qui est la même chose, formera elle-même un contour ferm.é . 



Remarque. En posant :;; = t + ^*! et /(z) = X+iY [n" 8], 

 la formule (29) s'écrira 



ff(z)dz = f\xdi- Yd^) + if\xd^ f Yd^) 



démonstration donnée par Malmsten [Kongl. Vet.-Akademiens Handlingar, 186GJ est 

 exempte de ces inconvénients mais elle restreint la déviation au dedans d'un rectangle 

 [parallèle aux axes] dont le diagonale a pour extrémités les limites d'intégration, et 

 suppose, de plus, que les projections des éléments de la déviation soient constamment 

 ou positives ou négatives. — La démonstration de Riemann est générale et peut se 

 formuler toute rigoureuse [Voyez Cale. Intégral par I. Bertrand, pag. 297, et Théo- 

 rie élémentaire des quantités complexes, par J. Hoilel, pag. 82]. La démonstration 

 que nous avons donnée ici est, peut être, la plus simple possible que l'on puisse 

 établir pour un théorème aussi général que celui de Cauchy. 



*) Lorsqu'on intègre le long d'un contour donné, on écrit le nom du contour 

 à la place de la limite supérieure d'intégration. 



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