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Göran Dillner, 



ou, qui est la même chose, 



f\xdi- Ych) = 



et 



/{Xdn+Ydi) = 0, 



où les expressions sous le signe d'intégration sont des différentielles ex- 

 actes [(6)]. [Voyez la démonstration, donnée par Riemann, du théorème 

 fondamental de Cauchy]. 



19. L'énoncé du n" précédent, comparé avec celui du n" 16, 1°, 

 poun-a s'exprimer de la manière suivante: 



L'intégrale définie d'une fonction synectiqiie^ prise entre des limites 

 données d'un contour fermé, à l'intérieur duquel la fonction na pas des points 

 critiques, sera luie fonction synectique de sa limite supéneure , pour tout point 

 du contour. 



Remarque. De cet énoncé il s'ensuivra immédiatement, qu'une in- 



tégrale définie / (z)dz , considérée comme fonction de sa limite supé- 



rieure, aura im champ de syuecticité aussi grand, au moins, que la fonc- 

 tion sous le signe d'intégration. On pourra donc toujours décider, saus 

 aucune connaissance de la fonction primitive, si l'intégrale définie sera une 

 fonction synectique de sa limite supérieure. Toutefois, il ne s'ensuit pas 

 de là que toute intégrale définie d'une fonction, qui est synectique le long 

 d'un contour fermé, mais non en tous les points de l'aire incluse, soit né- 

 cessairement une fonction multiforme de sa limite supérieure pour cette por- 

 tion du plan. Nous trouverons dans ce qui va suivre une méthode assez 

 décisive pour déterminer dans chaque cas, si l'intégrale d'une fonction 

 donnée est de l'une ou de l'autre espèce. 



20. On dit qu'un contour fermé est décrit dans le sens positif ou 

 qu'il est positif, si l'on s'imagine qu'un observateur, debout sur le plan, par- 

 coure le contour avec le point décrivant, l'aire incluse étant à sa gauche. 

 On dit, dans le cas contraire, que le contour est décrit dans le sens négatif 

 ou qu'il est négatif. 



En faisant décrire à z un contour fermé positif c P c a,-^ A^c a.^ A.^, c...cipAj,c 

 ^- ß_ [fig. S], [la flèche indiquant le sens 



positif], et en supposant, de plus, 

 .que la fonction /(,.) soit synectique 

 en tout point du contour et de l'aire 

 incluse, l'intégrale i)rise le long de ce 

 contour sera nulle [n" IS]. Mais le 

 contour fermé cPca^A^cd^A^c.. a^ApC 

 se décomposera dans le contour fermé 

 positif c Pc et les contours fermés né- 



