22 GÖRAN Dillner, 



Remarque. En posant -^-rr = cf(.2), on aura, poin* z = a [n" 9], 



lim (z — a)' . F(z) = lim {^ — ")' = iî_ 



d'où il s'ensuit que la condition lim (.3 — ayF(z) = A amènera la sui- 

 vante: (D(a) = (D'(a) = .... = (D^'-^>(à) = et mod (D'"{à) > 0, ce 

 qui est le critérium ordinaire pour que a soit une racine de Tordre s de la 

 fonction 0(z) = 0. 



25. Si a est un infini simple de la fonction F{z) qui soit d'ail- 

 leurs synectique pour l'aire infiniment petite 0, on calculera l'intégrale 

 circulaire 



® 

 f F{z)dz. 



de la manière suivante. En posant 



où Q sera le rayon du cercle ®, et par suite, d'après la formule (3), 



dz = ÎQ^ . du = i{z — a) . doo , 

 on aura la formule 



® ^2 



f F{z)dz = iX{z-à)F(^du ..... (34) 



Puisque, d'après la supposition, a est un infini simple de la fonction 

 i^(2), on trouvera que 



\ivsi{z~a)F{z) = A (35) 



sera synectique au point a et que, par conséquent, la fonction (2 — a)F{z) 

 sera synectique pour toute l'aire (aj. On pourra donc écrire la formule (34) 

 de cette manière, 



„® ^2 TT Jin 



J F{z)dz = ij_ {A^t)du = 27riA-\-iJ^ sdco (36), 



où s s'annulera en même temps que ç, décrivant des cercles de plus en 

 plus petits, convergera vers zéro. Car, en désignant par [a, le plus grand 

 module que puisse recevoir £ tandis que u va de à 2ct, on aura dans la 



formule (36) mod y sdu < /i^.27r [(13)] et, par conséquent, à la limite, 



JF{z)dz = 27ri.A (37). 



