24 Göran Dillner, 



•prenant dans son intcrieur le point t et bornant en même temps le champ de 

 synecticité de la fonction %{z). 



En supposant que la quantité t n'entre pas dans F{z) et qu'elle 

 soit indépendante de 2, on ain-a, en différentiant l'égalité (38) r fois par 

 rapport à i, 



r (0 = 2V7/(f:Bp (39), 



d'oîx résultera cet énoncé: 



La dérivée r'^"" }^""'(0 d\ine fonction %{t) a pour expression le 



produit *— . X ïintégrale défiiiie de la fonction -_JlVz— .^ , prise le long 



d'un contour fermé P qui comprend à son intcrieur le point t et en même 

 temps home le champ de synecticité de la fonction %{z). 



Remarque. En considérant la faculté lO comme représentant l'unité, 

 une dérivée de l'indice étant la fonction primitive, on voit que la formule 

 (39) comprend la formule (38) comme cas particulier, pour r = 0. 



28. De la formule (39) nous conclurons donc cet énoncé im- 

 portant : 



Une fonction '^(z) étant synectique poiir toiit point situé tant sur un 

 contour fermé P qu'à son intérieur, chacune de ses dérivées sera synectique 

 pour tout point situé à son intérieur. 



La vérité de cet énoncé s'aperçoit immédiatement, parceque chaque 

 dérivée est uniforme pour la même aire que sa primitive [n" 10]; de plus, 

 puisque l'intégrale de la formule (39) est finie [n" 13], les dérivées 5""'(0 ®* 

 g.(»+i)^^') seront aiisfii finies pour toute valeur du nombre entier et positif»'; 

 enfin, la dérivée jy'"(0 est continue en même temps que sa dérivée 5''"^"'(0 

 est finie [n" 6, rem. 2]. Donc la dérivée %^''^{t) sera synectique pour tout 

 point situé à l'intérieur du contour fermé P. 



Remarque. De cet énoncé il s'ensuit que le cbamp de synecticité 

 P d'une fonction primitive ^{z) sera plus grand que celui de sa dérivée 

 ^iime '^'•'''>(t) en cela, que le cercle infiniment petit qui entoure t devra être 

 à l'intérieur de P sans qu'il ait aucun contact avec P. 



29. En représentant, dans la formule (39), par a une valeur /m'e 

 de i, et en supposant que le contour fermé P se restreigne à un cercle in- 

 finiment petit («), on aura, pour s = r-}-l , 



