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r 1 l^ ^ J' r=l 



38. La formule (47), en y faisant usage des notations a,^ = ap_^i 

 = c, peut s'écrire comme il suit: 



V f f(£)dz =. Z F,(z) = ^ fri^dz . . . (48). 



'■=1 '^ r^O '.a,,. r=0 "-^ 



Remarque. La formule (48) représente une intégration depuis 

 c = ÄQ jusqu'au cercle intiniment petit @, ensuite autour de ce cercle, et 

 après cela jusqu'au cercle infiniment petit @, etc., jusqu'à ce que l'on par- 

 vienne au dernier cercle @; après avoir intégré autour de celui-ci, on re- 

 viendra enfin au point de départ c = a^+i- Cette manière d'exécuter l'in- 

 tégration conduit précisément au même résultat que la formule (46), et peut 

 se déduire immédiatement du n" 20. 



39. Une fonction f{z) étant synectique pour tout point d'un cou- 

 tour fermé P et de l'aire incluse autre que les points d'embranchement 

 «j , rt-j , ... ffl^, situés à l'intérieur de P, on aura d'après les formules (32) 

 et (46), si l'on suppose que les intégrales circulaires autour de ces points- 

 là s'annulent [n" 21, rem.\. 



J^}(z)dz = ^^ f\^,(z)-f,.(z)\dz .... (49), 



OU, en s'appuyant sur la foruiule (48), F^(z) étant en général la primi- 

 tive de la fonction /,.(:): 



f{z)dz^Z fr{z)dz = ^\F,{z) .... (50), 



OÙ F,{z) = F{.:) et d, = a^,+i = c. 



Les formules (49) et (50) donnent une règle générale pour calculer 

 l'intégrale définie d'une fonction /(.;) le long d'un contour fermé P, à 

 l'intérieur duquel sont situés les point d'embranchement «j , «2 , . . . , a^,, 



*) La valeur principale de Arc Sin ( — 1) est égale à — \n d'après ce 

 que nons ferons observer plus tard. 



