Traité de Calcul géométrique supérieur. 33 



temps que n converge vers l'infini. Car, en faisant q,„ = (z — a) [(51)], 

 on aura, puisque q = const, et par suite dz = ig,,, .dm [(3)]: 



)d(o 



V 27r4 I h\ 



Maintenant, si l'on désigne par ^ le plus grand module de l'expres- 



sion — , en faisant varier œ de à 27r, on aura à l'aide de la 



1 — - 

 ?.. 

 formule (13): 



^<Q 



M"-'' 



d'où il résulte, ^ étant finie et (> > h, d'après les conditions établies, 



lim Ä = . 



Donc, puisque la formule (53) représente une w/en^iie pour tout point 

 a -{-h à l'intérieur du cercle P, la série du second membre, étendue à 

 l'infini, convergera. En remplaçant, d'après le n" 27, les intégrales par les 

 dérivées correspondantes, la formule (53) se transforme dans la formule 

 connue de Taylor: 



/(a + A) =/(a) + ^' •/(«) + ^^ ./"(«)+ (55) 



OU, en changeant a-\-h en .r, 



/(^) =/(«)+^~ •/'(«) + ^—-/"(^) + (56). 



On aura donc cet énoncé important qui s'appelle théorème de Cauchy: 

 Ln fonction. f(z) étant synectique pour tout point d'un cercle P et de l'aire 

 incluse, si Hon désigne par a le centre du cercle et par a-|-h un point à 

 son intérieur, la fonction f\a + h) sera développable en une série convergente 

 d'après la formule de Taylor. 



Le cercle P s'appelle cercle de convergence de la série de Taylor. 

 Ce cercle bornera donc le champ de synecticité de la fonction f{z). 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 



