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complexe h ne pourra représenter que des points situés à Vintérietir du 

 cercle de convergence. 



44. Soit a un infini de l'ordre s de la fonction g- (s) [n° 24] qui 

 en outre est synectique pour tout point de l'aire infiniment petite 'O, et 

 posons (5'C^) ~ (■• — '^y FQ^'i alors la fonction (5"(2), étant synectique 

 pour tout point de l'aire C9, sera développable selon la formule de Taylor 

 pour le cercle de convergence (a . Donc, on aura d'ajnès la formule (56): 



ou, ce qui est la même chose, 



-^H - (^_a)^ + (^_ay-i+--- (z — a)is-l + L« + ^^^^ 



En multipliant (59) par dz et intégrant autour du cercle infiniment 

 petit (à), on aura d'après les formules (40) et (41): 



r^ • r 



J F(z)dz = -^^-j\{z-ayF(z)l^^''^ . . . (60). 



Cette formule s'accorde avec la formule (42), qui est donnée pour 

 calculer l'intégrale circulaire autour d'un infini a de l'ordre s. 



Remarque. Le coefficient du terme dans le développement 



2 ■ et 



I i(p, aV i'^C^))*^''"^' 



(59), c est-à-dire, la quantité / ]^ —r—i est appellee par Caucliy 



"le résidu" de la fonction F(,t) relatif à l'infini « de l'ordre s. Le résidu 

 est donc identique au produit ^ • X l'intégrale circulaire autour du point 



a. C'est en prenant ce coefficient comme point de départ que Cauchy a 

 établi un system de théorèmes relatifs aux infinis des fonctions, qu'il a 

 nommé "Calcul des résidus" *) et qui n'est qu'une branche spéciale de la 

 théorie qui vient d'être exposée. 



*) Le calcul des résidus présente un caractère très-artificiel, et emploie des 

 notations qui transportées dans cette théorie se montrent fort incommodes, en parti- 

 culier quand il s'agira, comme dans la formule (4;]), d'exprimer une somme d'inté- 

 grales circulaires ["résidu intégral"]. 



