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Göran Dillner, 



YIII. FONCTIONS PERIODIQUES. 



46. Après avoir montré, clans ce qui précède, le moyen de cal- 

 culer les intégrales circulaires et linéaires, et d'évaluer ainsi les intégrales 

 prises le long d'un contour fermé qui renferme dans son intérieur des points 

 critiques , nous allons maintenant aborder la théorie importante des fonctions 

 périodiques, dont nous avons signalé les principes au n" 16, 2". Ainsi, en 

 intégrant une fonction f{z) entre les limites z^ et 2, le chemin le long 

 duquel l'intégrale est prise, n'étant donné que par ses extrémités, pourra 



être quelconque comme la droite .-o z [fig. 

 10], l'un des contours z^A^z^z, z^A^z^z,... 



Fig. 10. 



^o -^p ^o ^ ) 



^o ^i ■ 



^^2 ^O ^ 



etc. , ces contours 



étant composés des contours qui au n° 21 

 sont désignés par ^1, A^, ..., A^,, Ai +Aj, 

 et du chemin Zg z. Le résultat de l'intégra- 

 tion doit donc être différent suivant des 

 chemins différents que l'on a parcourus en 

 intégrant de z^ k z, si l'on suppose que les 

 contours fermés ^1, Jj , ... A^, A^-rA^ 

 etc. qui sont joints à la droite z^z, ren- 

 ferment lin ou plusieurs points critiques, de sorte que chaque contour 

 simple comme A^, A^, . . . , A^, ne renferme qu'un seul de ces points. 

 La limite inférieure ,-0 étant fixe, à chaque valeur de la limite supérieure 

 2 repondront donc en général plusieurs valeurs de l'intégrale ; et par con- 

 séquent, la limite supérieure, étant considérée comme fonction de l'inté- 

 grale , devra recevoir la même valeur pour une quelconque des valeurs 

 distinctes de l'intégrale qui proviennent des chemins ditférents qui condui- 

 sent de Zo à z. Alors, en représentant par n la valeur générale de l'inté- 

 grale fy(z)dz prise le long d'un quelconque des chemins allant de z^ 



à z, et en représentant, de plus, par «„ la même intégrale prise le long 

 d'un chemin déterminé, comme la droite -„z, et par cela même nommée la 

 valeur principale de l'intégrale générale, on aura d'après la formule (19), 

 savoir, si la fonction f{z) est œcodrome le lony des contours fermés qui sont 

 ajoutés à la droite z^ z : 



u 



= Xf{^(^^ = îro+->'" 



(68), 



