Traité de Calcul géométrique supérieur. 43 



Dans cette formule la quantité u^ ^ sera une période toutes les 

 fois que f,{z) =f(z), c'est-à-dire que la fonction /(,;) sera œcodrome 

 le long du contour yl;-f^„ -f. . ., et par conséquent ti,^ ^ = l'inté- 

 grale principale ?/„ [(^^Ö)]- Alors, le multiple de la période ku,) ^ 

 devra être ajouté à l'intégrale "(;._„..)■ Le nombre des périodes sera donc 

 déterminé par celid de toutes les manières possibles dont on pourra combiner 

 les contours A^, A^, ..., A^ dans une somme le long de laquelle la fonc- 

 tion f(z) soit œcodrome. 



/d ■'■ 

 ï_^ proviendra la fonc- 



tion périodique z = ^m {u^^k.2-^) qui ne peut avoir qu'une période 

 «^1,,, =: 5 / ^^--, = 1 l \F,_,{z) — F,(z)i = 2 TT [ir 37], puisqu'il 



<1 , 2) l/ /J ^2y ,.^1 ' 



n'y a qu'une seule combinaison A^-\-A^ le long de laquelle la fonction 

 ;; ■ est œcodrome. 



51. Pour le cas où la fonction /,(2), dans la formule (74), ne 

 sera pas égale à la fonction /(z) , c'est-à-dire, où /(.:) ne sera pas 

 œcodrome le long du contour A)-\- Au-\-. . ., la quantité c^n^f,__\ n'aura 

 plus le caractère de période, quoiqu'elle ressemble à une période en ce que 



z 



cette quantité forme un terme additif à l'intégrale spéciale (y /^(2) dz^ , la 



fonction /",(.) étant la valeur que reçoit /(.-) après que z a fait le tour 

 de chemin Aj-{- Aa-\- . . . . Nous appellerons càn „ ), dans ce cas, une 

 périodoïde, laquelle sera par conséquent caractérisée de la manière suivante. 

 La périodoïde est l'intégrale d'une fonction /(-) , prise le long dun contour 

 fermé Af-\-A^-\-..., pour lequel f(z) est anœcodrome, de sorte qit'elle 

 reçoit la valeur f,{z) après que z a décrit le chemin Aj-\- A^, -{-... '^ cette 



intégrale forme, de plus, un terme additif à l'intégrale speciale (jf(^z)dzY 



mais ne pent pas être multipliée, comme la période, par un entier quel- 

 conque x,. 



r dz 



Par exemple, de l'intégrale u = J^^ -1 proviennent les deux 



périodoïdes a^,„ = /" \F(-)—F,(..)\ = tt et co,,, = j"» \F(z)-F,(z)l = —tt 



