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riodiqiie pour a = une quantité complexe, et simplement périodique, quoique 

 ayant une période doxMement indiquée, pour a = une quantité "réelle"*), etc. 



Hem arque. En supposant que le rapport des périodes ,« = — - 



îii 



soit un nombre "réel", et en supposant, de plus, que les multiples x^ ß^ 

 et xj iîj fixent des points sur la même droite, de part et d'autre de l'ori- 

 gine, on reconnaîtra que les deux suites des points fixés par x^ fii et x^Qi 

 ont tous les points communs pour lesquels on aura k\ a^ =. h^ si.^ , c'est- 



k, 

 à-dire, 1.1 = j-. Pour /t = un nombre irrationel ces deux suites n'ont pas 

 «'2 



de points communs; mais la distance entre deux de ces points, pris de 

 l'une et de*rautre suite, pourra être moindre qu'une quantité donnée aussi 

 petite que l'on voudra, sans pouvoir être absolument nulle. 



56. Supposons que les périodes iî^ et n^ aient des arguments diffé- 

 rant l'un de l'autre par des valeurs autres que +]cn \k — un entier], et 

 marquons les points fixés par les multiples xi îii et x^ ß., de part et 

 d'autre de l'origine; alors on aura, en menant par les points x^üi des 

 droites // Si^ et par les points ^2^2 des droites // Siu "n réseau de pa- 

 rallélogrammes, dit réseau de périodes, qui est caractérisé par ce que chaque 

 point de croisement de ce réseau est fixé par la somme x^Qi^-^- x.^Sî.i et, 

 par conséquent, pourra être pris pour origine de la variable indépendante 

 de la fonction périodique. Ainsi, étant donnée une fonction n"^'"""" pério- 

 dique, les périodes étant Hy, Si,, •■■ ii,, on aura un réseau particulier 

 pour chaque combinaison deux à deux des multiples xjßi, x^_ ii ... x„n„i 



_ , n(ji — 1) , 

 d'où il s'ensuit qu'une fonction n"'''"'""" périodique doit avoir ^ ré- 



seaux de périodes. Par exemple, une fonction doublement périodique doit 

 avoir un réseau de périodes, une fonction triplement périodique trois réseaux 



*) Cet exeruple a un intérêt spécial, parce que le rapport des périodes 



jx - ~ = — e" est uu nombre irraHunel pour a = une quantité "réelle". Se- 



Ion Briot et Bouquet [Fonctions doublement périodiques, pag. 7G] la fonctioD 



i(„ + x^ + x^ 1 serait, à cause de cela, une constaute. Mais, d'après 



les méthodes que nous allons exposer plus loin, cette fonction «//(m) pourra être 

 développée en une série convergente et variable avec u. Les hypothèses sur les- 

 quelles ces auteurs ont fondé leur raisonnement ne pourront donc être eu tout point 

 correctes. 



