Traité de Calcul géométrique supérieur. 47 



de périodes, une fonction quadruplement périodique six réseaux de pério- 

 des , etc. *). 



57. Un simple et très-bel exemple d'une fonction périodique à 

 plusieurs périodes est fourni par la fonction z = 4(") = 4("o + -2'xä) 



/^" /^" dz 



qui provient de l'intégrale u = / f(z)dz = / -. . — 



./ J^ V (z—a^) (z—a^) ... (2 — a„) 



et s'appelle "transcendante d'Abel". D'après la formule (73) on aura les 

 n périodoïdes äj^,. ^,2, ... &;,„), pour lesquelles les intégrales spéciales se- 

 ront ?/(!) = ?/,2, = .. . ?/,„) = — »0; de plus, on en déduira les périodes 

 distinctes u^l.^^ — u^^y — ä),^)) ^a.i) = ^a) — ^(3). ^a.n) = ^(u — «^w ^^^ "O^^^- 

 bre de (?i — 1), les autres périodes &),2 3, = a,,) — a^3^ = &j,,_3, — ^(1,2. 

 etc. étant les combinaisons de ces (/i — 1) données. En supposant qu'un 

 contour fermé P renferme les n points d'embranchement aj , a^, . . . , a„ 

 et qu'il se compose d'un cercle C décrit autour de z^ comme centre, et du 

 chemin .i,, Cz^ passant le long d'un rayon z^ C en sens direct et rétro- 

 grade, il s'ensuit, d'après la formule (49) pour n — un nombre pair, 

 Zo = c étant un point au contour P, 



J f(z)dz = u^y — &i,2,+&J,3, — &;,_i,+ ...-f <>;(„. 1, — u^,^^= a)^^.^^^\ u^■i^^.^ -f-... &)^„_,,„)...(79), 



où les indices pourront être permutés d'une manière quelconque. Or, pour 

 z^C convergeant vers l'infini, la fonction /{"), pour n > 2, convergera 

 vers zéro, d'où il suit, d'après la formule (13), que l'intégrale prise le 

 long du cercle C doit être nulle. Puisque f{z), pour n = un nombre pair, 

 est œcodrome le long du cercle C, l'intégrale, prise le long du rayon z„C 

 dans les sens direct et rétrograde, doit aussi être nulle. Donc, l'intégrale 

 prise le long du contour A doit être identiquement nulle, d'où l'on aura 

 ï identité suivante 



û^d, äj+'S^ia, 4)+ ■ • • ^(,,-1,,,) = *^ (80), 



les indices pouvant être combinés deux à deux d'une autre manière quel- 

 conque. 



*) Chez Bertrand [Cale. Intégral, pag. ßOlJ se trouve un théorème sur "l'im- 

 posibilité d'une troisième période", d'après lequel il serait possible de construire un 

 réseau unique, dont les points de croisement remplaceraient tous les points de croise- 

 ment des trois réseaux distincts de périodes, ce qui est, en général, évidemment 

 impossible. 



