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Pour n = un nombre pair, ou aura, d'ajjrès cela, (n — 2) périodes 

 distinctes. La transcentante d'Abel sera donc doublement périodique pour 

 M = 3 et « = 4, quadriiplement périodicpie pour w = 5 et n = 6 , et 

 eu général, 2 a"'''™"" périodique pour n = 2a-{-'\. et n = 2(r + 2, le nom- 

 bre des périodes étant ainsi pair. 



58. Du n" précédent il s'ensuit immédiatement que la transcen- 

 dante périodique z = -^^C») = 4("o + ■^'«■^) découlant de l'ntégrale 



/ 



= Un -j- 2xSi doit avoir une 



'-» (2 _ 5) y (3 _ a,) {z — a,)...(z- a;) 

 période de phis [pour z = 5] que la transcendante du n" précédent, pour 

 n == p. Ainsi, pour p = 3 et p = 4, la fonction z = 4(") ^^^'^ '''*'" 

 plement périodique, pour p = b et p — 6, quintuplement périodique, et, 

 en général, pour p = 2cr+l et p = 2a + 2, (2 ù- -j- 1 )"'"""''"' périodique, 

 le nombre des périodes étant par cela impair. 



Remarque. On doit soigneusement observer que, dans le calcul 

 des périodes, l'intégrale ci-dessus ne pourra être considérée comme cas par- 

 ticulier de l'intégrale du n' précédent, en laissant deux des points «i, 

 «2, ..., a„ dans cette dernière intégrale se confondre à un seul. Cela ne 

 pourra être admis, parce que d'après les principes établis au n° 20, tons 

 les points critiques doivent être isolés les uns des autres par des distan- 

 ces finies. 



IX. CHAMP DE SYNECTICITE DE LA LIMITE SUPÉEIEURE 



DE L'INTÉGRATION. 



59. Supposons qu'un contour fermé P borne le cliamp de synecti- 

 ticé de la fonction f{z) et soit, de plus, 



alors, on reconnaîtra, d'après le n" 18, que l'intégrale u décrira un contour 

 fermé Ä, lorsqu'on fera décrire à z un contour fermé P, d'où il s'ensuit 

 qu'à tout point du contour P doit répondre un point unique et déterminé 

 du contour H. D'après cela, en prenant deux points quelconques a et 6 



