Traité de Calcul géométrique supérieur. 49 



sur le contour P, l'un et l'autre de ces points doit donc avoir un point 

 unique et déterminé, a. et /3, pour correspondant sur le contour R, d'où il 

 suit qu'une déviation continue d'une partie aPb du contour P, tendant à 

 se confondre avec; l'autre partie a F b doit amener une déviation continue 

 correspondante d'une partie ccRß du contour R, tendant à se confondre avec 

 l'autre a,Rß. Donc on en conclut que z = -^{u) sera nne fonction finie 

 et CO nt inne de u pour le champ borné par le contour 72 > dès que u sera une 

 fonction finie et continue de z pour le champ borné par le contour P [n" 10], 



GO. Ensuite, pour reconnaître d'une manière décisive si la fonc- 

 tion z = 4(") '^"1"* quelque point d'embranchement à l'intérieur du con- 

 tour R, ou non, il faut en faire un examen particulier, que nous allons 



maintenant exécuter. En effet, puisque la dérivée de l'intégrale u = J f{z)dz 

 par rapport à la limite supérieure ,: ou 



du , ^ 



-dz=^^ (81) 



[(15)], selon l'iiypotlièse, est synectique pour le champ P*), il s'ensuit 

 que, pour mod/(.:) > 0, 



Arg f{z) = (82) 



doit varier d^une manière continue pour tout contour aza décrit par z 

 à l'intérieur de ce champ [fig. 11]. En faisant décrire à h, à l'intérieur 

 du contour jR, un contour fermé infiniment petit a,ua, autour d'un point 

 y, le contour correspondant aza\ décrit par z à l'intérieur du contour 

 P, doit aussi être infiniment petit, à cause que .;, d'après le n' précé- 

 dent, est une fonction finie et continue de u\ de même, la fonction /(;;) 

 doit décrire un contour infiniment petit bb pour ce contour aza', d'où 

 il s'ensuit que arg/(..) ou t [(82)] variera entre des limites ?„ et fj qui 

 différent l'une de l'autre d'un intervalle infiniment petit. Mais, d'après le 

 n" (j, on aura « = la différence entre les arguments des élémeuts des con-, 

 tours ctua. et aza' en des points correspondants u et 2, ou, qui est la 

 même chose, entre les directions des tangentes tiM et zL/luL, d'où il 

 suit que cette différence variera entre ces limites infiniment voisines fo et e^. 



*) Nous dirons, pour abréger, le champ P, le champ R etc., au lieu de dire, 

 le champ borné par le contour fermé /', R, etc. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 7 



