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Göran Dillnek, 



Fig. 11. 



D'après cela, s'il était possible qu'au contour ferme avA correspondit un 

 contour ouvert aza\ il s'ensuivrait, d'après le n" 18, qu'en faisant dé- 



crii'c par z le complément a' a" u de 

 son contour fermé a.. a l'intégrale «« 

 décrirait de nouveau un contour fermé 

 tel que a, a,' a,, etc.; alors la difiérencc 

 entre les limites de la variation de t 

 doivent, dans tous les cas, surpasser 

 de beaucoup l'intervalle infiniment petit 

 («1 — f,,) . Donc, la fonction z = 4(") 

 sera nécessairement œcodrome pour tout 

 point y pour lequel mod /"(.i) > 0; et, 

 alors, z sera une fonction uniforme de 

 u pour le champ it, correspondant au 

 champ de synecticité P de la fonction 

 y'(;2), dès que f{z) n'aura aucun zéro au dedans de ce champ P. Nous 

 aurons donc, à l'aide du n' précédent, cet énoncé très-important: 



Si la fonction f{z) sous le signe d'intégration est synectique pour un 

 champ donné P, la limite supérieure z de l'intégrale sera une fonction, synec- 

 tique de Vintégrale u pour le champ R correspondant au champ P, pourvu 

 que f{z) n'ait aucun zéro à V intérieur du contour P. 



Remarque. De la démonstration donnée ci-dessus il suit qu'en 

 faisant décrire à la variable indépendante d'une fonction 4(") "'^ contour 

 fermé très-petit au dedans du champ de synecticité R de la fonction, la 

 fonction elle-même décrira un contour fermé très-petit qui s'approchera, de 

 plus en plus, d'être semblable au contour décrit par u, jusqu'à ce que les 

 deux contours se réduisent l'un et l'autre à un point. 



61. En supposant, dans la formule (81), que /(c) soit nul, ou 

 que f{z) ait un zéro z = c à l'intérieur de son champ de synecticité, 

 on aura suivant la formule (55), en posant h = f^,^ et ./'(c-f-y,,,) = ?\. : 



/W 



+ {^J 



/■(0 



+ 



Soit f''''''{c) la première dévivée qui ne s'annule pas pour 



=-. t-; 



''. = (?»)" 



+ 5 



alors 



(83), 



s désignant la somme de tous les termes comprenant les dérivées d'un 

 ordre supérieur au k""". D'après cela, en prenant y assez petit, on pourra 



