Traité de Calcul géométrique supérieur. 53 



63. On reconnaît que les énoncés que nous venons d'établir aux 

 n"' 60 — 62 s'appliqueront immédiatement aux fonctions périodiques qui ne 

 sont que les limites supérieures des intégrales multiformes et fonctions de 

 ces intégrales [n" 47]. On aura donc ces énoncés très-importants: 



1" Une fonction périodique z = -xf- (?/) , proveriant de l'égalité 



du 

 f{z) = -77, est synectique pour im champ R, correspondant au champ de 



synecticité P de la fonction /(.2), si f{z) n'a auciin zéro à l'intérieur de P. 



Par exemple, la fonction z ~ tgw, provenant de l'égalité f{z) 



1 du 



= 1^,2 = jT) s*?!'^ synectique pour un champ R, correspondant au champ 



de synecticité P de la fonction /(c) [P pouvant comprendre tous les 

 points du plan autres que +«], puisque f {z) n'a aucun zéro à l'intérieur 

 de P; de même, la fonction périodique z = 40')) ^^'^*^ transcendante 



d'Abel , laquelle provient de l'égalité /(.2) = , . — 



V (- — «1) (■- — «2) • • • (- — ««) 



du 

 '- -t; , sera synectique pour un champ R, correspondant au champ de 



synecticité P de la fonction j{z) [P pouvant comprendre tous les points 

 du plan autres que a^, a^, ... a,,] , puisque /(c) n'a aucun zéro à l'in- 

 térieur de P, etc. 



2" Une fonction périodique z = -^ (u) , provenant de Végalité 



du .. . . 



f{z) ~ ^77, est finie et continue, mais multiforme, ayant {x. -\ 1) branches 



égales et symétriquement placées autour du point c, j^our un champ R, cor- 

 respondant au champ de synecticité P de la fonction /(c) , sif(c), à l'inté- 

 rieur de P, a le zéro z = c, la dérivée f^'^Çz) étant la première qui ne 

 sanmde pas pour z = c, quand le point d'embranchement u = y sera 

 donné par la relation c = '\{y). 



Par exemple, la fonction périodique z = '\{u) =. \e" ■]-l){e" — l)i^ 



111- '^ ^^ 



[Tri étant la période], provenant de l'egalite /(-) = 1 1 ^z = 'T ^ ^^^^ 



finie et continue mais biforme, ayant deux branches égales et symétrique- 

 ment placées autour du point 0, pour un champ R, correspondant au champ 

 de synecticité P de la fonction /(.î), puisque /(z), à l'intérieur de P, a 

 le zéro 2 = 0, la dérivée f'{z) étant la première qui ne s'annide pas pour 

 z = 0, quand le point d'embrachement u = y aura la valeur ou 



