54 Göran Dillner, 



kTri [k — un entier], déterminée par la relation = ,{ey -\-\){e'' — 1)|'. 



De même, l'inverse z = 4(''') ^^ l'intégrale elliptique de troisième espèce, 



r {z — cfdz 

 u =z I -^ -, y-, ^ ^ ^ ^ — ^ , sera finie et continue mais tri- 



% (2 — 6) l/(z — a,) i^—a,) (.ï— «g) 



forme, ayant trois branches égales et symétriquement placées autour du 

 point c, pour un champ /^, correspondant au champ de synecticité P de la 



(•- — c)' 

 fonction /(2) = ; ..w, -, ,. ^ ^^ , puisque /(.z), à l'in- 



térieur de P, a le zéro z = c, la dérivée f"(z) étant la première qui 

 ne s'annule pas pour z = c, et le point d'embranchement u = y étant 

 donné par la relation c -^ '^(y) , etc. 



64. Si la fonction z = 4(") est périodique et que l'on ait = 40'i)» 



cette fonction pourra être représentée par z = J ■^'{it)du, d'oii il suit que 



la limite supérieure ti comme fonction de l'intégrale ; ou u = 4~H(^)) 

 devra représenter des branches égales et symétriquement placées autour de 

 tout zéro îi = y de l'équation 4'(") = '^ ['^" 62], le point d'embran- 

 chement c étant donné par la relation y = 4~^((^)) ^*^ ^ = 4(?^)' ^* 

 le nombre des branches par l'indice k de la première dérivée S^ ("))*'' * 

 = '^-''''(^) ^"' "^ s'annulera pas pour u ~ y. On aura donc cet énoncé 

 qui sera d'une importance singulière pour les fonctions inverses des fonctions 

 périodiques: 



Si la fonction z = -^(u) est périodiqiie ^ la fonction inverse u — '4~H('^)) 

 sera nmltiforme, ayant k branches égales et symétriquement placées autour de 

 tout zéro w = y de V équation 4^' (^i) = 0, le point d'embranchement c 

 étant donné par la relation c = -^- {y) . et le nombre des branches par Vin- 

 dice X, de la première dérivée -4- '*''(») qui ne s annule pas pour u = y. 



Par exemple, si l'on prend z ■-= Sin ?<, la fonction inverse rt = Sin~'((,3)) 

 = arc sin ((,;)) sera multiforme, ayant deux branches égales et symétrique- 

 ment placées autour de tout zéro m = (il'/r -}- 2^-57-) *) de l'équation 

 Cosu = 0, le point d'embranchement -j- 1 ou — 1 étant donné par la 

 relation +1 = S'm (+j7r -^2i{,7r) et le nombre des branches par l'indice 

 2 de la première dérivée (Sin «) " = — Sin i< qui ne s'annule pas pour 

 u = +~7r + 2)C7r. L'exactitude de ce raisonnement sera, de plus, con- 



*) Ici et dans ce qui va suivre k représentera uu entier, positif, néga- 

 tif ou nul. f. 



