Traité de Calcul géométrique supérieur. 55 



statée par la solution connue u = arc sin ((;)) = - log ((iz +]/^l — 2^)) . 



Ensuite, soit z = e" ; puisque tout zéro de l'équation "^' {11} = e" = 

 est donné par la relation u — — 00 -\- 2 ktti, l'inverse n = log ((.i)) doit 

 représenter des brandies parallèles partant des points — oo-\-2k7ri, le 

 point d'embrauclieuient étant donné par la relation = g-« +2*7?' De 

 même, si l'on a ,2 = tg^f, l'inverse u = arctg ((.z)) doit représenter des 

 branches parallèles partant des points +«'00 -\-k7ry puisque tout zéro de 



l'équation ■^.'(w) = pzr^ — = O est quelqu'une des valeurs ti. = +/004 «tt, 



le point d'embranchement -\-i ou — i étant donné par la relation 

 ■jri— ig{+i<x>^K7r). Ce raisonnement se vérifiera, d'ailleurs, par la so- 



1 , ((l-\-i~ 

 lution connue u = '^■^(^g [[-r_ -z. 



X. REPRODUCTIVITÉ DES FONCTIONS COMPLEXES, 



65. Une fonction -v^ (^0 est dite reproductive relativement à une 

 quantité y, si l'on a -i^iy^f) — y^iu). 



Une fonction ^^ («) est dite reproductive de Tordre a. relativement 

 à une quantité y, si l'on a "4- (yu) = y".-^(n'). 



Remarque. Une fonction "^{^i), qui est reproductive de Tordre 

 relativement à une quantité y^ est dite irré productive par rapport à cette 

 quantité. Ainsi, si Ton a -^^ (yu) = y*'.4'{n) = '4-{u), cette fonction est 

 dite irréproductive relativement à y. 



66. Si la fonction -^ (u) est reproductive relativement à y , c'est- 

 à-dire, si Ton a '4- (») - ^■^'(y)) ^'^ dérivée première ^A'(") = "^'{yu) 

 sera irréproductive relativement à la même quantité. 



67. Une fonction synectique ■^(u) étant irréproductive relativement 

 aux a racines a'^'"" de l'îinité, c'est-à-dire, 1, y, y-, ..., y°' [y = I25]) 



