Traité de Calcul géométrique supérieur. - 57 



Généralisation du théorème fondamental d'Abel. 



71. Maintenant, en nous appuyant sur les propriétés reproductives 

 de certaines fonctions "algébriques", nous allons faire une généralisation du 

 théorème fondamental bien connu, donné par Abel pour les fonctions ellip- 

 tiques et abéliennes. généralisation qui .sera d'une grande importance dans 

 nos recherches ultérieures. 



En effet, soient a, yi*, m et n des entiers positifs, et posons 



<r>2 (91); 



posons, ensuite, 



zicco-^cc^z'^ ... Uuz"n = (p(2)j 

 ao + a^z'-i- ... «,„.-."">) = %(2)î 



(92) , 



. A„ désignent de& paramètres arbitraires, et a^ ' ''i i • • • «,« 

 des constantes: alors la fonction (p(.i) sera reproductive relativement aux 

 G racines g'""" de l'unité. 1, y. y-, .... y"^\ [y = I23]; mais, au con- 



traire, la fonction xi^-) sera irr é productive relativement aux mêmes quan- 

 tités. Posons, de plus, 



F{z) = :x(z)--l<p(z)i'' (93); 



la fonction /'(-) sera donc irré productive relativement à une puissance 

 entière quelconque y'; mais la dérivée F' {z) sera reproductive de l'ordre 

 (g — 1) relativement à la même quantité, c'est-à-dire que 



F\y'.z) = (yr-'.F(z) (94). 



Eu posant, dans la fornnUe (93), 



F(z) ^ )Z(^)'"—<(P(^)''' = (95), 



cette équation sera de degré g a par rapport h z, g désignant le plus grand 

 des deux nombres (^tr-f-l) ou mn, s'ils différent Tun de l'autre, et leur 

 valeur commune, s'ils sont égaux, ce que nous représentons par la notation 



g = max . (96) . 



m n 



\ 



Or, par rapport à ;;", l'équation (95) est du degré //, et. par 

 suite, les g racines de cette équation seront de la forme 



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Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



