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Remarque 1. Si Ton introduit dans les résultats de lelimination 

 (108) les fonctions ■4'{}h), 4 ("3). •••1 "^- K-i) et ■4'[— 0<i +11^ + ... +»Vi)] 

 au lieu des quantités ^^i , :^ , . . ., c^^^ et z,j, les paramètres éliminés étant 

 au nombre de (^ -i- 1) , ces résultats de l'élimination devront contenir 

 f^-\-l des quantités i(i , «o , ..., u,j--i comme variables indépendantes 

 [n° 71, rem.], les autres g — ^tt — 2 quantités étant, en vertu des équations 

 (108), des variables dépendantes. 



Remarque 2. La généralisation que nous venons de faire du "tliéo- 

 rème d'addition" donné par Abel comprend la classe immense des fonctions 



périodiques qui découlent du type général de la différentielle du = :__. 



;%(0!^ 



Quand le théorème d'Abel, dans sa forme la plus générale, est borné au 

 cas oil n = \ et ff = 2, notre généralisation comprend tous les cas 

 possibles, a, ^, m et n représentant des entiers positifs quelconques, ex- 

 cepté <r = 1 [(91)]. Nous ferons dans ce qui va suivre des applications 

 très-importantes de cette généralisation. 



73. En multipliant l'identité (101) par un polynôme entier et ratio- 

 uel ö(:) qui soit irréproductif relativement à y [y — Ig^] et de degré 



T a , savoir, 



fl(î) = h, f J,--"+ ••• +«»--^% 

 on trouvera [voir (102)] 



-f 6(^:,. _ •;' e{z,)&{z,) 



où Ton démontre d'une manière toute semblable à celle du n' 71 que le se- 

 cond membre sera identiquement nul, sous la condition [voir (105)] 



ffa—\(j^a + l)a^ra — f^ai>l .... (116). 



On aura donc l'identité suivante [voir (106)], 



f e(fr)^. _o (117), 



et par l'intégration [voir 112)]: 



