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Donc, on aura enfin 



4{«)4(»i) = 4(« \-u,) (128), 



identité qui exprime le "théorème d'addition" de la fonction 4(")- 



De l'identité (128) il s'ensuit immédiatement, »h et n étant des en- 

 tiers quelconques, que 



;4(m)!" == 4("") • 

 Si l'on introduit dans cette identité v = nu, on aura 



!4(-)i" = 4Q, 



et enfin, ^w. désignant un nombre quelconque [qui, comme cas-limite, pourra 

 être irrationel] , 



:4^(vy" = -l{f^iO . (129), 



identité, qui exprime une propriété fondamentale de la fonction '^{u). 



77. Développement en série. Puisque, d'après le n" 63, 1", la 

 fonction périodique "4. (n) est synectique pour un champ R, correspondant 



au champ de synecticité P de la fonction f(z) = , il s'ensuit que 4- (n) 



sera synectique pour tout point possible , sauf peut-être au point u qui cor- 

 respond au point .3 = 0. On aura donc suivant la série (56), puisque, 

 daprès les formules (124) et (125), on a ^ (0) = -^-(0) = ... = 4"''(0) = 1, 

 r étant un entier positif quelconque ; 



4(^0= l+v + "> + ,^^ (130). 



i \^A [à 



Puisque cette série croît avec u à l'infini, il suit de la formule 

 (126) que le point a, qui correspond au point -: = 0, sera 11= — 00. 

 Donc, la fonction ■4- (u) est développée en une série, convergente pour tout 

 module fini de u [n" 42 et 43]. 



En désignant par é, comme on le fait ordinairement, la valeur ^^ (1) 

 de la série (130), on aura, suivant la formule (129), 



4{f^) = e" (131) . 



Donc, la fonction exponentielle e" provient comme un cas particuliei- 

 de la fonction périodique 4- (") pour u = quantité "réelle". 



